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COURBE ORTHOPTIQUE
Orthoptic curve, orthoptische Kurve

Du grec orthos "droit" et optikos "relatif à la vue".
Appellation donnée par Taylor en 1884.

La (courbe) orthoptique d'une courbe est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la courbe perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on "voit" la courbe sous un angle droit ; c'est donc un cas particulier de courbe isoptique.

Exemples :

    - L’orthoptique de la parabole est sa directrice.
    - L’orthoptique d’une conique à centre d'excentricité inférieure à  est un cercle appelé cercle orthoptique ou cercle de Monge. Pour l’ellipse, c’est le cercle de centre O et de rayon  (circonscrit à son rectangle). Pour l’hyperbole, c’est le cercle de centre O et de rayon .

    - L'ortoptique de la cycloïde est formée d'une infinité de trochoïdes, dont nous avons représenté deux exemplaires ci-dessous.

    - L’orthoptique de la cardioïde est la réunion d'un cercle et d'un limaçon de Pascal à boucle avec  (voir l'animation ci-dessus).

    - L’orthoptique de la deltoïde est son cercle inscrit.

    - L’orthoptique de l'astroïde est une rosace à quatre branches.

    - plus généralement, l'orthoptique d'une courbe trochoïdale est une réunion de courbes trochoïdales.

    - l'orthoptique d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique.

    - la tractrice est l'orthoptique d'une réunion de deux logarithmiques.

    - l'orthoptique de la croix de Malte est la cornoïde.

    - la podaire d'une courbe peut être considérée comme l'orthoptique de la réunion de cette courbe et d'un point.
 
 - l'orthoptique de la cruciforme est une belle courbe à 4 rebroussements (voir à tétracuspide).
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Autres exemples Broc comp p. 134.

La courbe orthoptique de la développée d'une courbe est le lieu des points d'où l'on peut mener deux normales à la courbe de départ, perpendiculaires entre elles.
 

Une notion voisine, portant le même nom, est celle d'orthoptique d'une partie X du plan : lieu des sommets des secteurs angulaires droits circonscrivant X (c'est-à-dire contenant X, et dont les deux côtés rencontrent X). L'orthoptique de la cardioïde dessinée en haut de cette page ne sera alors plus formée que de la partie externe des courbes rouges.

Voir la notion de surface orthoptique.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2013