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SPIRALE LOGARITHMIQUE
Equiangular spiral, logarithmische Spirale


Courbe étudiée par Descartes et Toricelli en 1638, puis par Jacques Bernoulli (1654-1705).
Autres noms : spirale équiangle, spirale de Bernoulli, spira mirabilis ; le nom "spirale logarithmique" a été donné par Varignon.

Jacques Bernoulli a fait graver une spirale logarithmique sur sa tombe dans la cathédrale de Bâle, avec l’épigraphe : eadem mutata resurgo, "déplacée (mutata), je réapparais (resurgo) à l'identique (eadem)". Cependant, le graveur a tracé une spirale d'Archimède...


 
Équation polaire : , k étant la cotangente de l'angle tangentiel polaire constant : .
Paramétrisation complexe : .
Courbe transcendante.
Abscisse curviligne et équation intrinsèque 2 :  , s étant comptée à partir du point asymptote O.
Rayon de courbure : 
Équation intrinsèque 1 : .
Équation intrinsèque 2 :  (avec ).
Équation podaire : .

La spirale logarithmique peut être définie comme
    - courbe dont l'angle tangentiel polaire reste constant (non droit)
    - courbe dont la courbure est inversement proportionnelle à l’abscisse curviligne
    - courbe dont le rayon de courbure est proportionnel (et supérieur) au rayon vecteur ( avec l > 1)
Les spirales logarithmiques de centre O sont donc les trajectoires sous l'angle. du faisceau des droites issues de O.

On peut aussi définir la spirale logarithmique de façon cinématique comme trajectoire d'un point M se déplaçant sur une droite passant par O avec une vitesse proportionnelle à OM, cette droite tournant elle-même uniformément autour de O ; ou encore comme courbe en coordonnées polaires telle que lorsque l'angle polaire croit de façon arithmétique, le rayon vecteur croit de façon géométrique.

La spirale logarithmique est aussi la projection stéréographique de pôle sud des loxodromies des sphères de centre O, faisant un angle  avec les méridiens (puisque la projection stéréographique est une transformation conforme).

C'est enfin le développement plan d'une hélice d'un cône de révolution.

La spirale logarithmique présente une exceptionnelle stabilité vis à vis des transformations géométriques classiques :

    - toute rotation de centre O d’angle  de la spirale revient à une homothétie de même centre et de rapport , laquelle revient donc à l’identité si .
eadem mutata resurgo...
Rotation égale homothétie !

Homothétie égale identité !
   Remarquons que la propriété "eadem mutata resurgo" est caractéristique : toute courbe continue, qui, tournée d'un angle , est égale à son homothétique dans un rapport (pour tout angle ) est une spirale logarithmique avec k = – ln. Pour une spirale d'Archimède, une rotation est tout à fait différente d'une homothétie !

    - toute inversion de centre O revient à une réflexion d'axe passant par O.
    - sa développée est une spirale logarithmique de même centre et de même angle(et d'ailleurs la limite de la développée n-ième de toute courbe est une spirale logarithmique).

     - sa podaire par rapport à O est une spirale logarithmique de même centre et de même angle .
(et y a-t-il la même propriété que pour les développées ? ? )

     - ses caustiques par réflexion ou par diffraction, la source lumineuse étant en O sont des spirales logarithmiques.

    - l'engrenage conjugué d'un engrenage en spirale logarithmique est une spirale logarithmique isométrique.

Lorsqu'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, le point asymptote décrit une autre droite :

Regarder des "applications" de cette propriété à couple roue-route.

La spirale logarithmique est solution des trois problèmes de physique suivants :

    1) La force centrée sur O qui fait décrire à un point dans le vide une spirale logarithmique est proportionnelle à 1/r3 (cette force est d'après la formule de Binet proportionnelle à  qui vaut ici , avec u = 1/r).
    2)  la courbe (dite brachistochrone) qui minimise le temps de parcours d'un mobile se déplaçant librement le long de cette courbe, cette courbe tournant à vitesse constante autour d'un centre fixe O, dans le cas où le mobile a une vitesse nulle lorsqu'il est en O, est une spirale lmogarithmique.

    3) Le mouvement d’une particule de masse m1 de charge q lancée dans un champ magnétique uniforme d’intensité B avec une vitesse v0 perpendiculaire au champ est une spirale logarithmique avec  et .

voir : perso.libertysurf.fr/hdehaan/mecanique/M6/M6_2/M6_2_cadre.htm
 
 
Si u est un nombre complexe non nul, la suite géométrique de raison a ses points images situés sur une spirale logarithmique exacte, de paramètre .
Ci-contre, avec u = 1+i/4.
De la même façon, toute suite de points de coordonnées polaires  telle que les  sont en progression géométrique de raison a et les  en progression arithmétique de raison b décrit une spirale logarithmique avec k = ln / b.

Par exemple, sur la figure ci-contre ont été tracés les points de coordonnées polaires ((1,1) ; (k+2l)p/n), en bleu si l est pair, en rouge sinon ; ces points sont situés en quinconces à l'intersection de cercles concentriques de rayons en progression géométrique et de droites concourantes ; mais ils sont aussi situés sur les spirales logarithmiques d'équation , d'où un joli effet.

La nappe de mon salon

 
 
Ici, les mêmes spirales, mais coloriées en triangles à la manière de cette mosaïque qui ornait une villa romaine à Corinthe au 2ème siècle après J.C.

 
D'autre part, comme on le constatait sur les figures précédentes, les spirales  et  forment deux réseaux orthogonaux

 
Phyllotaxie

Les écailles des pommes de pin se développent suivant une spirale logarithmique telle que l'écart angulaire (par rapport au centre) entre deux écailles successives, est à peu près égal à l'angle d'or : où  est le nombre d'or ; les écailles se rangent alors en spirales secondaires (ou parastiches) dont le nombre d'un certain type est toujours un nombre de Fibonacci ; ici, il y a 13 spirales rouges et 8 vertes.

Vue des points de coordonnées polaires  avec r = 1,005, situés sur la spirale , pour N allant de 0 à 100, simulant les écailles ; l'angle noir reliant les deux premières écailles est donc égal à l'angle d'or.
On voit apparaître  spirales secondaires rouges et  spirales secondaires vertes (ce qui modélise plutôt les fleurons du tournesol).
Sur la figure où les écailles sont indiquées avec leur numéro d'apparition, on remarque que la k-ième spirale secondaire associée à  est formée des points  vérifiant N = k + un multiple de, pour k allant de 0 à  ; par exemple, la première spirale rouge relie les écailles dont le numéro est multiple de 21.
Les écailles de la k-ième spirale secondaire associée à  sont situées sur la spirale logarithmique d'équation polaire  où  est l'entier le plus proche de , soit , vus les liens entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ( est l'angle polaire entre deux écailles successives d'une spirale secondaire).

Nota : l'angle entre deux spirales rouge et verte qui se croisent est constant mais n'est pas lié à l'angle d'or comme on le voit parfois écrit, puisqu'il dépend de la valeur de r !
 

Si l'on augmente le rapport r à 1,02, ce sont plutôt  les 8 =  spirales rouges associées à  et les 13 =  spirales vertes associées à , qui sont visibles naturellement, comme pour la pomme de pin ;  sur la deuxième figure sont tracées  les  34 =  spirales rouges associées à  et les 55 =  spirales vertes associées à , de nouveau avec r = 1,005.
Ces spirales secondaires associées aux nombres de Fibonacci apparaissent visuellement car les multiples fibonacciens de l'angle d'or se rapprochent de l'angle nul (voir wikipedia) : on voit bien sur la figure où les écailles sont indiquées avec leur numéro d'apparition que les écailles fibonacciennes 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 se rapprochent de l'axe des x.

Voir par exemple ce site ou celui-ci pour d'autres explications.

Sur cette page, on pourra tester différents angles de rotation entre deux fleurons de tournesol et constater que la disposition des fleurons est optimale dans le cas de l'angle d'or.

Si l'on considère une suite de droites concourantes D1, D2, .... faisant chacune un angle e avec la suivante, et que, partant de M1 sur D1, on construit M2 sur D2 tel que l'angle entre D1 et M1M2 soit égal à , puis M3, M4, ... de la même façon, les points Mn ont des modules en progression géométrique de raison et des arguments en progression arithmétique de raison e, de sorte qu'ils se trouvent sur une spirale logarithmique avec  ; on vérifie que  tend bien vers cot  quand  tend vers 0, de sorte que la spirale correspondant à tend vers la spirale logarithmique avec k = cot .
 

ici, y = 100°, e = p/10. 

ici, y = 100°, e = p/50. 

REM : lorsque  = 90°, on construit Mi+1 comme ayant Mi pour projeté orthogonal sur Di (attention, ne pas confondre avec la spirale de Théodore qui est une spirale d'Archimède approchée).

Une autre construction approchée consiste à prendre des arcs de cercle d'angles constants et de rayons en progression géométrique de raison , raccordés tangents.
Pour un très beau cas particulier, voir à spirale d'or. La spirale tracée sur un cône qui se projette en une spirale logarithmique est l'hélice conique.

Voir aussi la spirale de la tige en rotation et les courbes de poursuite mutuelle.

Plafond d'une salle du  château de Pavlovsk à Saint Pétersbourg


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© Robert FERRÉOL 2019