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COURBES DE POURSUITES MUTUELLES (ou courbes des mouches)
Mutual pursuit curves, Gegenseitige Verfolgungskurven (od. Käferbahn)


Problème initialement posé par Lucas en 1877.
Wikipedia : fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_des_souris
Site très complet en allemand : did.mat.uni-bayreuth.de/material/verfolgung/node5.html
Animation de G. Tulloue : www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/4mouches.php

Lorsque n points M1,M2,,Mn (traditionnellement, des mouches, des souris, ou des coccinelles...) se poursuivent mutuellement à même vitesse constante, Mk poursuivant Mk+1 (et Mn poursuivant M1), les trajectoires de ces points sont des courbes de poursuites mutuelles.
 
Pour obtenir la figure ci-contre, nous avons fait résoudre par Maple le système différentiel issu des n relations .

Dans le cas d'un triangle, on remarque que les deux mouches qui étaient les plus éloignées au départ sont celles qui se rencontrent en premier !

On démontre que le point de rencontre est l'un des deux points de Brocard du triangle.

Lorsque la figure de départ est un polygone régulier avec les points dans l'ordre d'apparition, les trajectoires sont des spirales logarithmiques de point asymptote le centre du polygone.
Le paramètre de la spirale est , l'angle tangentiel polaire étant donc de n le nombre de côtés du polygone
La longueur de la trajectoire de chaque mouche est donc égale à R est le rayon, , la longueur du côté.
 

 

Cas d'un pentagone
Cas d'un hexagone
Cas d'un octogone

 
 
Cas d'un carré, reproduit 4 fois  par symétries
Cas d'un triangle équilatéral, reproduit 6 fois par symétries

Voir aussi de telles courbes en 3D.
 

L'artiste ivoirien anonyme créateur de cette gravure pensait-il tracer des courbes de poursuite ?


 
 
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© Robert FERRÉOL, Alain ESCULIER  2015