Courbes de poursuite mutuelle

COURBE DE POURSUITE MUTUELLE

Autres sites :
did.mat.uni-bayreuth.de/material/verfolgung/node15.html
www.sciencenews.org/articles/20010721/mathtrek.asp

Lorsque n points M₁,M₂,…,M_n (en général des souris ou des mouches...) se poursuivent mutuellement à même vitesse constante, M_k poursuivant M_k+1 (et M_n poursuivant M₁), les trajectoires de ces points sont des courbes de poursuites mutuelles.

Pour obtenir cette figure, nous avons fait résoudre par Maple le système différentiel issu des relations .
On remarque que ce sont les deux mouches les plus éloignées au départ qui se rencontrent en premier.
On démontre que les mouches se rencontrent en l'un des deux points de Brocard du triangle.

Lorsque la figure de départ est un polygone régulier avec les points dans l'ordre, les trajectoires sont des spirales logarithmiques de point asymptote le centre du polygone.
On montre que la longueur de la trajectoire de chaque mouche est égale à R / cos(p/n) où R est le rayon et n le nombre de côtés.

Cas d'un pentagone Cas d'un hexagone Cas d'un octogone

Cas d'un carré, reproduit par symétries
Cas d'un triangle équilatéral, reproduit par symétries

Voir aussi de telles courbes en 3d.

L'artiste ivoirien anonyme créateur de cette gravure pensait-il tracer des courbes de poursuite ?

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres