Du grec hupo "au-dessous" et trokhos  "roue".

 

Paramétrisation complexe : , soit  où a  est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b  la distance du point au centre du cercle mobile (q > 1). Paramétrisation cartésienne : .

 

Les hypotrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0) ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque interne.

Autre façon de dire la même chose : les hypotrochoïdes sont les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle intérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les hypocycloïdes.
 
 

Si l’on remplace a par , b par  et d par a - b, l’hypotrochoïde obtenue est identique à celle de départ (propriété de double génération de l’hypotrochoïde).

On en déduit que si l’on conserve a, mais change q en  et k en , l’hypotrochoïde obtenue est homothétique de celle de départ dans le rapport k.

On obtient donc toutes les hypotrochoïdes en ne considérant que le cas q ³ 2.
 
 

Pour q = 2, on obtient les ellipses : .

Pour q > 2, la courbe s'appelle aussi hypocycloïde raccourcie si k < 1, hypocycloïde allongée si k > 1.

Attention, d’après ce qui précède, dans le cas 1 < q < 2, les hypocycloïdes raccourcies sont obtenues paradoxalement pour k > 1 et les hypocycloïdes allongées, pour k < 1.
 

Pour  k = q - 1 (soit d = a - b)), on obtient une rosace  d'indice  n > 1 , d'équation polaire .

Quelques exemples :
 

q = 3
q = 4
q = 5
q = 5/2
q =7/2
q = 7/3

Les hypotrochoïdes et les épitrochoïdes constituent les trochoïdes à centre.

On peut aussi définir les hypotrochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement composé de deux mouvements circulaires de sens contraires, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des hypocycloïdes si , des hypocycloïdes allongées si  et  ou  et , des épicycloïdes raccourcies si  et  ou  et  (on peut alors prendre , , d = r₂, donc ).

gravure de J. Mandonnet

Un spirographe maritime !

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2007