Du grec elleipein  "manquer". Nom donné par Apollonius de Perge. Voir sur cette page d'Alain Esculier les programmes de tracé des animations.

 

Équation cartésienne réduite : . a = demi grand axe ³ b = demi petit axe > 0. = demi-distance focale. = excentricité, p =  = paramètre,  coefficient d’aplatissement (par rapport au cercle de rayon a). F(c, 0) et F'(-c, 0) : foyers de l’ellipse. (D), (D'), droites d'équation  : directrices de l'ellipse. K : pied de la directrice sur l'axe Ox. d = FK  = .

Paramétrisation cartésienne : . Équation polaire : . Équation podaire : . Abscisse curviligne : . Rayon de courbure :  où N est la distance de M au point d’intersection de la normale avec Ox. Équation bipolaire : . Équation polaire (pôle F, axe Ox) : . Longueur, donnée par une intégrale elliptique de deuxième espèce :  Aire : pab.

Les ellipses sont les coniques d'excentricité  < 1.

Elles ont été historiquement définies comme section de cône de révolution par un plan faisant avec l’axe du cône un angle supérieur à celui de l’angle entre une génératrice et l’axe :

ellipse = intersection bornée d'un cône et d'un plan

Application : la trace d'un cône de lumière sur un mur a un contour elliptique, si elle est bornée

mais plus généralement toute section bornée d’une quadrique par un plan est une ellipse.

par exemple l'intersection d'un cylindre circulaire et d'un plan

L'ellipse possède de nombreuses définition géométriques planes :

1) Définition bifocale
    - l'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F' est constante (voir l’équation bipolaire) ; d'où les deux constructions suivantes dite "du jardinier" :
 

Tracé dit du jardinier : une ficelle de longueur constante est attachée aux foyers

Tracé par contre-parallélogramme articulé (formé de deux triangles symétriques)

Application :       Entre les deux pylônes, ce téléphérique décrit un arc d'ellipse.
La construction des foyer et directrice de l'ellipse définie comme section d'un cône est donnée par le théorème de Dandelin illustré ci-dessous :
 

Les 2 sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan de l'ellipse le sont aux foyers de celle-ci, et les plans des cercles de contact coupent le plan de l'ellipse en les 2 directrices.

1 bis) L'ellipse est le lieu d'un point M tel que la tangente en M à ce lieu est la bissectrice extérieure de l'angle F'MF :

Les angles indiqués sont toujours égaux

D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux (ou toute onde sonore) issu(e) de F, est donc réfléchi(e) par l'ellipse suivant une droite passant par F'.

Applications :
 

Dans le métro, deux personnes situées aux deux foyers de la voûte elliptique peuvent converser d'un quai à l'autre sans être entendues. Des salles de l’abbaye de La Chaise Dieu -pour confesser les lépreux- ont une curieuse propriété. Des chuchotements à tel endroit sont clairement perçus en tel autre et pas ailleurs… Même chose au couvent du désert des lions près de Mexico (galerie des soupirs), au musée du Louvre, à la Cathédrale d'Agrigente en Sicile, etc....

Pour mettre la balle dans le trou après un rebond, il suffit de viser l'autre foyer (ce que ne fait pas la personne sur la photo !)

Enceinte elliptique.

Pour une généralisation de la propriété : , voir les ovales de Cayley et les ovales de Descartes.

2) Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle, autrement dit comme isotèle de cercle.
L'ellipse est le lieu des points équidistants d'un cercle (appelé cercle directeur, de centre l'un des foyers F' et de rayon 2a) et d'un point situé à l'intérieur de ce cercle (qui est l'autre foyer F) ; autrement dit, c'est le lieu du centre d’un cercle variable astreint à passer par F et à être tangent à C(F', 2a)

MF = MN  ( = 2 a - F'M) : l'ellipse est la courbe d'équidistance du foyer F et du cercle directeur bleu.

Plus généralement les courbes d'équidistance entre deux cercles intérieurs sont des réunions d'ellipses :
 

	Les points rouges sont les points "équidistants" du cercle bleu et du cercle vert
		Lorsque les cercles sont sécants, la courbe d'équidistance est réunion d'une ellipse et d'une d'hyperbole.

3) Définition tangentielle par antipodaire de cercle.
L'ellipse est l’enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI), I décrivant le cercle principal C(O,a) (autrement dit, l’antipodaire de ce cercle par rapport à F), ou encore l’enveloppe de la médiatrice du segment [FN], N décrivant le cercle directeur C(F', 2a) (qui est donc l’orthotomique de l’ellipse par rapport à F).
 

Application : si vous découpez un rond de papier, marquez un point F à l'intérieur, et formez un certain nombre de pliures en amenant un point du bord sur le point F, les pliures seront enveloppées par une ellipse.

Ceci permet aussi l'élégante construction par système articulé ci dessous :

4) Définition par foyer et directrice (non valable pour le cercle).
L'ellipse est le lieu d’un point M tel que  où H est le projeté de M sur la directrice (D), avec e strictement compris entre 0 et 1.

Les longueurs MH et MF ont un rapport constant

4 bis)
L'ellipse est le lieu d'un point M tel que MF + eMH' = 2a où H' est le projeté de M sur la directrice (D'), avec e strictement compris entre 0 et 1.
 

Interprétant la quantité MF + eMH'  comme un chemin optique, cela signifie que si l'intérieur de l'ellipse est constitué d'un milieu d'indice de réfraction n et l'extérieur d'indice e.n, les rayons incidents parallèles à l'axe de l'ellipse situés du côté de (D') seront réfractés en des rayons passant tous par F. En d'autres termes, la caustique par réfraction de l'ellipse pour des rayons parallèles à l'axe est réduite aux deux foyers.

MF + eMH' = 2a, d'où

Ceci a comme application la conception de lentilles convergentes (l'indice de réfraction de la lentille doit être égal à 1/e) :

 

5) Définition par affinité de cercle.

L'ellipse est l’image par l'affinité  du cercle principal C(O, a) et aussi image par l'affinité  du cercle secondaire C(O, b), d'où la construction, dite “par réduction d’ordonnée”, qui montre que l'ellipse est la transformée de Newton de 2 cercles concentriques :

N décrit le cercle principal, P le cercle secondaire

Plus généralement, toute application affine transforme un cercle en une ellipse ; en voici des applications :
 

Trace-ellipse de Delaunay

Les Ai et C1 décrivent des droites ; B1 et C2 décrivent des cercles ; mais pouvez vous démontrer que les autres articulations Bi et Ci décrivent des arcs d'ellipse ? (Idée, et dessin de Jacques Lubczanski)

6) L'ellipse est le lieu d'un point d’un segment dont les extrémités se déplacent sur des droites non parallèles (et d'ailleurs de tout point lié à ce segment), d’où la construction, dite “à la bande de papier” :
 

Par cette méthode, une même ellipse est obtenue de 2 façons différentes. Remarquons que la droite mobile enveloppe, elle, une astroïde.

Trace-ellipse d'Archimède (ou de Proclus), utilisant cette propriété

Applications :

Les points P et Q décrivent deux droites perpendiculaires :  tous les points d'une porte de garage décrivent donc des ellipses.

D'où un autre trace-ellipse dit "de Van Schooten" (pouvant aussi être considéré comme une bielle de Bérard).

Pour d'autres courbes obtenues par des mécanismes articulés, voir à courbe du trois-barres.

7) Définition trochoïdale.
L'ellipse est une hypotrochoïde, avec un cercle roulant de rayon moitié de celui du cercle de base (composition de deux mouvement circulaires de mêmes vitesses angulaires et de sens contraires).

8) L'ellipse est un cas particulier de courbe de Lissajous.

Les cercles de courbures aux sommets se construisent très simplement, et permettent une construction approchée de l'ellipse :

Les cercles bleus se construisent facilement ((KK') perpendiculaire à (AB))
Il reste à les rejoindre à la main pour obtenir un tracé assez "beau".

Pour la développée de l'ellipse, voir à tétracuspide ; les courbes parallèles à l'ellipse sont les toroïdes ; l'antipodaire de l'ellipse par rapport à son centre est la courbe de Talbot.

Voici encore un mécanisme, dit "de Cavalieri" pour tracer les ellipses (suivez le lien vers un magnifique site italien sur les mécanismes).

L'enveloppe des cercles dont le diamètre parallèle à une direction donnée a ses extrémités sur un cercle est une ellipse de coefficient d'aplatissement 1/Ö2 ; cette propriété, qui peut s'interpréter en 3d à partir des cercles de l'ellipsoïde constituait l'énoncé de l'un des 3 exercices qu'Einstein a du résoudre dans son épreuve de maturité (le baccalauréat en Suisse), épreuve à laquelle il a eu la note maximale...

Pont en Bretagne (photo Mauricette Decamp)

Le Colisée (qui est elliptique, pas seulement par perspective !)

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001, Alain ESCULIER 2003