Courbe de Lissajous

COURBE DE LISSAJOUS
Bowditch curve (or Lissajous curve), Lissajoussche Kurve

Pourquoi n'arrive t-on pas à voir dans la figure rouge le mouvement situé ci-dessous à droite ?

Courbe étudiée par Bowditch, 1815 ; Lissajous, 1857.
Autres nom : figure de Lissajous, courbe de Bowditch.
Pour les intimes : joue courbe d'Alice.
Jules Lissajous (1822-1880) : physicien français.

Paramétrisation cartésienne réduite:

(

Les courbes de Lissajous sont les trajectoires d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Les courbes de Lissajous de paramètre n (rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux) sont les projections sur les plans passant par l'axe des couronnes sinusoïdales de paramètre n ainsi que des couronnes sinusoïdales de paramètre 1/n .
La courbe de paramétrisation réduite de l'en tête est en effet projection sur xOy de la couronne sinusoïdale d'axe Oy et de paramètre n : et projection sur xOy de la couronne sinusoïdale d'axe Ox et de paramètre 1/ n : .

Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle .

Si n est un rationnel , il est plus agréable de prendre les équations suivantes :

Paramétrisation cartésienne : , .
Courbe algébrique de degré 2q si pour p impair ou pour p pair.
Portion de courbe algébrique de degré q si pour p impair ou pour p pair.

On obtient une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychef T_n pour n entier pair, et pour n entier impair, .

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