courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

COURBE DE LISSAJOUS
Bowditch curve (or Lissajous curve), Lissajoussche Kurve


Ceux qui voient ce mouvement dans la figure rouge sont, parait-il, "cerveau droit", ceux qui voient le mouvement inverse seraient "cerveau gauche"....

Pourquoi n'arrive t-on pas à voir ce mouvement dans la figure rouge ?

 
Courbe étudiée par Bowditch en 1815 et par Lissajous en 1857.
Autres nom : figure de Lissajous, courbe de Bowditch.
Pour les intimes : joue courbe d'Alice (contrepéterie dûe à André Délédicq).
Nathaniel Bowditch (1773-1838) : navigateur et mathématicien américain. 
Jules Lissajous (1822-1880) : physicien français.

 
Paramétrisation cartésienne réduite: ).

Les courbes de Lissajous sont les trajectoires d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Les courbes de Lissajous de paramètre n (rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux) sont les projections sur les plans passant par l'axe des couronnes sinusoïdales de paramètre n :
ainsi que des couronnes sinusoïdales de paramètre 1/n .
La courbe de paramétrisation réduite de l'en tête est en effet projection sur xOy  de la couronne sinusoïdale d'axe Oy et de paramètre n et projection sur xOy de la couronne sinusoïdale d'axe Ox et de paramètre 1/ n .
 

Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle .
 

Si n est un rationnel de forme irréductible , il est plus agréable de prendre les équations suivantes :
Paramétrisation cartésienne :  .
Courbe algébrique de degré 2q si  pour p impair ou  pour p pair.
Portion de courbe algébrique de degré q si   pour p impair ou  pour p pair.
Le nombre de points doubles vaut, en général,  ( p1 groupes de q points alignés sur des droites parallèles à Ox, en bleu ci-contre, et q1 groupes de p points alignés sur des droites parallèles à Oy, en vert ci-contre).
Dans le cas où la courbe est à double sens de parcours, il y a  points doubles.

On obtient une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychef Tn pour n entier pair, et pour n entier impair,  .
Voici quelques cas particuliers, avec a = b :
 

Pour n = 1, on obtient les ellipses :
 

Pour n = 2 (q = 2, p = 1), on obtient les besaces :
 

: lemniscate de Gerono
: portion de parabole.

projections de la couronne sinusoïdale de paramètre 2 ( courbe de la crêpe)

projections de la couronne sinusoïdale de paramètre 1/2 ( fenêtre de Viviani)

Pour n = 3/2 (q = 3, p = 2) :

Sextique d'équation cartésienne 

Portion de la parabole divergente d'équation cartésienne:.


couronne sinusoïdale de paramètre 3/2

couronne sinusoïdale de paramètre 2/3 

Pour n = 4/3, (q = 4, p = 3) :



Paramétrisation cartésienne (courbe de droite)
ou  ()

Équation cartésienne : 
Quartique polynomiale.

En voir ici une version nouée.
 


 
 
n = 5/3
= 5/4
= 6/5
= 8/5
= 9/8

 
Les courbes de Lissajous ont la même topologie que les courbes de boules dans un billard rectangulaire.
Voir cette page.

 
On peut aussi imaginer des "courbes de Lissajous en coordonnées polaires", de paramétrisation polaire :  ; ci-contre le cas p = 3, q = 7,  (idée de Ch. de Rivière).

 
Ce beau paillasson, ou "paillet", ou encore "baderne", ne suis pas exactement une courbe de Lissajous.

Cependant, si dans la courbe de Lissajous , vous suivez les "ponts" bleus ci-contre, vous obtenez le paillasson.
Voir une interprétation sur cette page.

Voir aussi les courbes de Lissajous 3D, et les vasques.
 
 
 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2015