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PARABOLE DIVERGENTE
Divergent
parabola, divergierende Parabel
rouge : cubique elliptique à ovale
vert : cubique acnodale bleu : cubique elliptique à une branche jaune : cubique crunodale magenta : cubique cuspidale |
Courbe étudiée par Newton en 1701. |
Équation cartésienne :
où P est un polynôme du troisième degré.
Cubique. |
Les paraboles divergentes sont les courbes définies par l'équation cartésienne ci-dessus.
Toute cubique est projectivement équivalente (c'est-à-dire image par une transformation homographique réelle) à une parabole divergente (théorème de Newton). Toute homographie étant composée d'un déplacement et d'un homologie (ou perspective), cela signifie que toute cubique peut être vue sous une certaine perspective comme une parabole divergente droite.
La cubique est alors rationnelle si et seulement si le
discriminant D du polynôme P ci-dessus
est nul, et il y a dans ce cas trois classes d'équivalence projectives,
formées des cubiques crunodales, acnodales ou cuspidales.
Dans le cas non rationnel (cubique de genre 1, dite «
elliptique »), chaque valeur de D fournit
une classe d'équivalence projective.
Disposition des racines de P | Type de la cubique |
Trois racines réelles distinctes ;
équation réduite : |
Cubique elliptique à ovale |
Une racine réelle et deux racines non réelles
conjuguées ;
équation réduite : |
Cubique elliptique à une branche |
Deux racines réelles dont une double et P(x)
³
0 au voisinage de la racine double ;
Équation cartésienne réduite : . Paramétrisation cartésienne : . La cubique est donc polynomiale. Dans ce cas rentre la cubique de Tschirnhausen : (b = 3 a), le folium parabolique droit (b = a) et un cas de courbe de Lissajous ( a = 3 b ). |
Cubique crunodale (à point double) |
Deux racines réelles dont une double et P(x)
£
0 au voisinage de la racine double ;
Équation réduite . Parmétrisation cartésienne : . Cubique polynomiale. Dans ce cas rentre la cubique duplicatrice (b = a). |
Cubique acnodale (à point isolé) |
Une racine réelle triple : parabole semi-cubique. | Cubique cuspidale (à point de rebroussement) |
Dans les trois derniers cas, la parabole divergente peut être obtenue par antihyperbolisme à partir de la parabole (d'où le nom de parabole divergente).
Voir aussi les cubiques
de Chasles, les hyperboles
cubiques (autres familles de courbes représentant toutes les
cubiques), les courbes de
poursuite, et la courbe du nageur.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012