Hyperbole cubique

HYPERBOLE CUBIQUE
Cubical hyperbola, Kubische Hyperbel

rouge : cubique elliptique à ovale
vert : cubique acnodale
bleu : cubique elliptique à une branche
jaune : cubique crunodale
magenta : cubique cuspidale

Courbe étudiée par Newton en 1701.
Autres noms : hyperbole ambigène (nom donné par Newton), semi-trident.

Équation cartésienne : où P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 de valuation nulle.
Cubique.

La transformation homographique : ramène cette cubique à la parabole divergente droite :.
Comme les paraboles divergentes (ainsi que les cubiques de Chasles), les hyperboles cubiques représentent donc les perspectives de toutes les cubiques.

Lorsque P est de degré 3, l'hyperbole cubique est rationnelle ssi P a une racine multiple.
Si de plus le coefficient dominant est négatif, elle possède alors une construction comme courbe de Rosillo.
Cas remarquables :
la cissoïde droite () et la strophoïde droite ().
cas avec coefficient dominant positif et une racine triple :

Hyperboles cubiques remarquables dans le cas où P est de degré 3 à racines simples : la cubique de Lamé (, équivalente à bidilatation près à la courbe ci-contre), et la cubique de Humbert () . (cf la cubique d'Agnesi)

Lorsque P est de degré 2 on obtient les oeufs de Hügelschäffer.
Lorsque P est de degré 1, on obtient la cubique d'Agnesi () ou la courbe jaune ci-dessus.

Cas où P est de degré 0

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Lorsque P est de degré 3, l'hyperbole cubique est rationnelle ssi P a une racine multiple. Si de plus le coefficient dominant est négatif, elle possède alors une construction comme courbe de Rosillo. Cas remarquables : la cissoïde droite () et la strophoïde droite ().	cas avec coefficient dominant positif et une racine triple :
Hyperboles cubiques remarquables dans le cas où P est de degré 3 à racines simples : la cubique de Lamé (, équivalente à bidilatation près à la courbe ci-contre), et la cubique de Humbert () .	(cf la cubique d'Agnesi)