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SPIRALE HYPERBOLIQUE
Reciprocal spiral, hyperbolische Spirale

Courbe étudiée par P. Nicolas en 1696, Varignon en 1704, Bernoulli en 1710 et Cotes en 1722.

 
Équation polaire : .
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .
Courbe transcendante.
La spirale hyperbolique est le lieu du point M d'un cercle variable centré en O coupant l'axe Ox en A tel que la mesure de l'arc AM soit constante égale à a.

Comme la spirale logarithmique, elle possède une branche en spirale avec point asymptote, mais, au contraire de celle de la spirale logarithmique, sa longueur est infinie.

CNS :  courbe dont la sous-tangente polaire est constante.

On l'obtient également comme
- inverse de la spirale d’Archimède
- orthocaustique de la spirale tractrice par rapport au centre.
- projection conique plane (le centre de projection se trouvant sur l'axe et le plan de projection perpendiculaire à cet axe) d'une hélice circulaire (théorème de Théodore Olivier) ; c'est la raison pour laquelle la perspective plongeante d'un escalier en colimaçon est une spirale hyperbolique.
 
Le phare de la baleine à l'île de Ré

La courbe permettant de déterminer les points de départ des coureurs sur un stade circulaire est une spirale hyperbolique :
 
Si le rayon du cercle interne est r, la spirale hyperbolique est d'équation .

Lorsqu'on fait rouler une spirale hyperbolique sur une droite, son pôle décrit une tractrice, tandis que si on la fait rouler sur une logarithmique, son pôle décrit une droite.

La spirale hyperbolique est solution du problème consistant à déterminer les trajectoires dans le vide d'un point matériel soumis à une force centrée sur O proportionnelle à  (cette force est d'après la formule de Binet proportionnelle à  qui vaut ici , avec ) ; les autres solutions sont les épis et les spirales de Poinsot, voir ce lien.

Voir aussi la spirale conique hyperbolique, et comparer avec la spirale SiCi.

La spirale hyperbolique ne fait-elle pas penser à la queue d'un caméléon ?


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2004