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NOEUD ET ENTRELACS DE BILLARD RECTANGULAIRE
Rectangular billiard knot and link, rechteckigen Billardknoten und -Verschlingung


Le " (6,2) "


Étudié par Jones et Przytycki en 1998.
Liens :
Tipe sur les trajectoires de billard
Construire le (5,3) à la main !
Images réalisées par Alain Esculier.

Un nud  de billard rectangulaire est le nud obtenu à partir d'une trajectoire fermée d'une boule dans un billard à bords rectangulaires, en modifiant les points de croisements en passages alternatifs dessus-dessous.
 
Si le billard a les dimensions L,L' et la boule de billard démarre d'un côté de longueur L (hors coin) avec une trajectoire de pente a par rapport à ce bord, la trajectoire est fermée ssi le rapport L/L' sur a est un rationnel p/q (p et q premiers entre eux).
La boule fait alors p rebonds sur les côtés de longueur L, et q sur les côtés de longueur L'.
Et il y a en tout  croisements.

Ici p = 5 et q =3 ; 5 rebonds par bord horizontal, 3 par bord vertical,
5.2+4.3 = 22 croisements.

Hormis les cas où elle part d'un coin, la courbe conserve la même topologie, donc donne naissance à un nud unique, que l'on dira de type (p, q).
À une dilatation près, on peut se ramener 
    - au cas où le billard est carré (et la pente vaut p/q), 
    - ou au cas où L/L'=p/q, auquel cas la pente vaut 1 (les croisements se font à angle droit).
Le nud de billard de type (p,q) peut aussi s'obtenir par courbe de Lissajous plane.
En effet, si c est une fonction continue, paire, strictement décroissante sur, vérifiant c(0)=1 et , la courbe   donne pour  un noeud de billard de type (p,q) (p > q) inscrit dans un rectangle de côtés p et q (pour , on arrive dans les coins).
Pour  on obtient une courbe de Lissajous, et pour , une trajectoire de billard.
Pour , les rebonds sont régulièrement espacés sur les côtés.

cas p = 4, q = 3
Les alternances dessus-dessous peuvent être obtenues par une courbe de Lissajous 3D, ou, ce qui est équivalent, par une trajectoire de bille (non soumise à la pesanteur) dans un billard parallélépipédique.
Équation avec les notations ci-dessus : .
Voir à noeud de Lissajous.

Exemples :
 
q = 1 : le nud est trivial p = 3, q = 2 : on obtient le quatrième noeud premier à 7 croisements. p = 4, q = 3 , nud premier à 17 croisements. p = 5, q = 3
Réalisations artistiques : art bouddhique, islamique, celtique, romain ou maritime !
Ce "noeud sans fin", symbole bouddhique, que l'on retrouve dans de nombreux lieux est équivalent au noeud de billard rectangulaire (3,2) ci-dessus (les deux boucles haut et bas sont superflues).
 Photo prise à Katmandou : B. Ferréol.

Image prise sur le très intéressant blog Nico-matelotage.

Nud celtique

Variantes et généralisations :

1) Pour p et q non premiers entre eux, si l'on trace toutes les trajectoires avec p rebonds régulièrement espacés sur deux côtés opposés, et q rebonds sur les deux autres côtés, on obtient un entrelacs à PGCD(p,q) composantes.

Exemples :
p = 2, q = 2 : on obtient le nud  de Salomon, plus simple des entrelacs non triviaux p = 3, q = 3 : entrelacs à 12 croisements et 3 composantes, répertorié 12x-3-79 dans knotilus. Parfois appelé noeud de Salomon triple. p = 4, q = 2 :  entrelacs à 10 croisements et 2 composantes, classé 101 dans knot-atlas. p = 4, q = 4.
Nud de Salomon quadruple.
p = 8, q = 8


Mosaïque romaine

Entrelacs islamique (Marrakech)

Motif mongol, que l'on retrouve comme décoration de yourte

Mosaïque romaine (villa casale)

 
Le bonnet turc de type (p,q) (premiers entre eux ou non) a pour graphe une grille rectangulaire de p1 cases sur q1 cases ; ci-contre le cas (5,3).

2) On peut aussi considérer les courbes obtenues quand la boule de billard part d'un coin. La courbe est alors ouverte, mais peut être fermée de diverses façons ; et on peut aussi effectuer des superpositions.

Exemples dans le cas (3,2) :
La fermeture d'une seule courbe ouverte donne un noeud trivial, mais la superposition de deux courbes ouvertes est intéressante.
Il s'agit du noeud de Carrick qui conduit, par fermeture, soit au dix-huitième noeud premier à 8 croisements : 8.1.18, soit au septième entrelacs premier à 8 croisements et deux boucles : 8.2.7.
 

Baderne 8.1.18

Noeud celtique 8.2.7

Exemples dans le cas (4,3) :
 
Si l'on ferme la courbe, on obtient un noeud de trèfle. Si l'on superpose deux courbes ouvertes et que l'on relie les brins différents, on obtient un noeud à 18 croisements répertorié 18x-1-230179 dans knotilus ; il  est utilisé pour la fabrication de paillassons, ou badernes. Si l'on relie les brins identiques, on obtient un entrelacs à 18 croisements répertorié 18x-2 - 410219 dans knotilus.
Réalisation concrète ?

Exemple dans le cas (7,3) : 
 
Exemple dans le cas (1,1) ; la fermeture donne l'entrelacs de Whitehead. Exemple dans le cas (3,3) : 

3)  On peut aussi considérer des croisements dessus-dessous non alternatifs.

On obtient des noeuds dont le nombre minimal de croisements est inférieur au nombre de croisements de la courbe.
 
On peut ci-dessus décroiser deux croisements (en haut à droite) : on obtient le nud 5.1.2. Ici, on peut décroiser 4 croisements, on obtient donc le nud de trèfle. Ce nud a été obtenu en suivant le parcours de la boule de billard avec passage au dessus lorsqu'on traverse un trait antérieur. On peut donc dénouer en commençant par la fin. Ceci fonctionnant dans tous les cas, il existe toujours une configuration donnant le noeud trivial.

4) On peut remplacer le billard rectangulaire par un billard polygonal convexe.
Avec des croisements quelconques, on obtient alors tous les nuds possibles, même en se restreignant aux billards de contour un polygone régulier. En effet, tout nud  a une projection qui est un polygone régulier croisé. Voir aussi les nuds polygrammiques.

Avec un billard triangulaire par exemple, on obtient le nud de trèfle : 

Voir aussi les noeuds de billard cylindriques, ou bonnets turcs, les noeuds celtiques linéaires.

Frontispice de la chapelle de Murato en Corse : il s'agit d'un (22,3).


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© Robert FERRÉOL  2016