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POLYGRAMME ENTRELACÉ
Linked Polygram, verschlingtes Polygramm

Polygramme : du grec poly "plusieurs" et gramma "lettre, écriture".

Un polygramme entrelacé est un noeud ou entrelacs obtenu par entrelacement d'un polygramme, en décrétant, à chaque croisement de deux côtés, d'un passage d'un côté en dessus ou en dessous de l'autre. Il existe deux façons remarquables d'entrelacer un polygramme de symbole de Schläfli {p/q}, avec > 2q :
    - soit en faisant passer chaque côté alternativement en dessus et en dessous des côtés rencontrés (et l'on montre que c'est toujours possible) ; on obtient le polygramme dit "alterné", équivalent au noeud ou entrelacs de billard cylindique de type (p, q).
    - soit en faisant passer chaque côté au-dessus des autres côtés jusqu'à son milieu, puis en-dessous. Le noeud ou entrelacs obtenu est alors équivalent au noeud ou entrelacs torique T(p, q).
Les polygrammes torique et alterné ne sont plus équivalents dès que .

Si l'on accepte des passages dessus ou dessous quelconques, on obtient tous les noeuds et entrelacs possibles. En effet, tout noeud ou entrelacs a une projection qui est un polygramme.

Voici les premiers exemples de polygrammes toriques, accompagnés du noeud torique correspondant  :

pentagramme {5/2}, 
ou pentacle
noeud premier 51

 

hexagramme {6/2}, 
sceau de Salomon
ou étoile de David 
entrelacs premier 612

heptagramme {7/2}
noeud premier 71


heptagramme {7/3}
noeud premier 12 n 242


octogramme {8/2}
entrelacs premier 812

octogramme {8/3}


ennéagramme {9/2}
noeud premier 91

ennéagramme {9/3}

ennéagramme {9/4}


décagramme {10/2}
entrelacs premier 1012

décagramme {10/3}

décagramme {10/4}

undécagramme {11/2}

undécagramme {11/3}

undécagramme {11/4}

undécagramme {11/5}

dodécagramme {12/2}

dodécagramme {12/3}

dodécagramme {12/4}

dodécagramme {12/5}

 

Vues montrant l'astuce (dûe à Alain Esculier) utilisée pour tracer ces polygrammes ; les bandes forment en fait un tronc d'hyperboloïde.

Voici quelques exemples de polygrammes "alternés" (voir aussi les bonnets turcs, et les entrelacs brunniens) :

Quelques images de pentagrammes entrelacés :


drapeau marocain
drapeau éhtiopien

 

Quelques images d'hexagrammes entrelacés :


drapeau israélien

Un superbe hexagramme formé de deux triangles de Penrose.


 

heptagramme alternatif {7/2}

octogramme alternatif {8/3}

nonagramme alternatif {9/3}


décagramme alternatif {10/2}
médaillon d'un coran iranien, XIVe siècle

dodécagramme {12/4} : ni alternatif, ni torique !


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© Robert FERRÉOL  2015