une couleur = un tour autour de l'axe

Équation cylindrique :  (n > 0) Paramétrisation cartésienne : . Abscisse curviligne : .

Les solénoïdes toriques sont les solénoïdes dont la courbe centrale est un cercle ; ils s'enroulent donc régulièrement autour d'un tore. On peut aussi les voir comme trajectoire d'un point ayant un mouvement circulaire uniforme dans un plan tournant uniformément autour d'un axe.

Lorsque le tore est réduit à une sphère (R = 0), on retrouve les clélies.
Les projections sur xOy sont les conchoïdes de rosaces.
 
 

tore croisé		Vue de dessus : conchoïde de rosace.
tore ouvert		Vue de dessus : conchoïde de rosace.

Lorsque n est un rationnel p/q, et R > r, la courbe est fermée et simple, et le noeud associé au solénoïde torique correspondant est le noeud torique de type (p, q), possédant p enroulements autour du tore pour q tours autour de l'axe, qui est toujours un noeud premier. Les noeuds de type (p, q) et (q, p), sont équivalents.

Tout noeud ayant une représentation sans croisement sur le tore est un noeud torique de ce type.
Chaque section droite du tube comporte q brins et la vue de dessus comporte p (q - 1) croisements ; il a été démontré que pour p > q,  ce nombre de croisements est le nombre de croisements minimal du noeud correspondant, (nombre qui vaut donc q (p - 1)  pour p < q).
 
 

Pour n = 1 (et aussi pour n entier ou inverse d'entier), on obtient le noeud trivial (mais contrairement à ce qu'on pourrait attendre, le solénoïde n'est pas un cercle de Villarceau du tore).

Pour q = 2 (resp p = 2), on obtient des noeuds à p (resp. q) croisements :
 

n = 3/2 : noeud de trèfle noeud premier 31	n = 5/2 : pentagrame noeud premier 51	n = 7/2 : premier heptagramme noeud premier 71	n = 9/2 : premier nonagramme noeud premier 91
n = 2/3 :  on obtient bien le noeud de trèfle et non le noeud en huit, contrairement aux apparences (pour le noeud en huit, il faudrait inverser le croisement de gauche).	n = 2/5	n = 2/7	n = 2/9

 

n = 4/3 cf. le 18ème noeud premier à 8 croisements

n = 5/3 cf. le 123ème noeud premier à 10 croisements

n = 7/3 deuxième heptagramme

n = 9/4 troisième nonagramme

Les solénoïdes torique pour q = 2 sont bords de rubans de Möbius à p torsions :
 

n = 1/2 : bord du ruban de Möbius classique (une torsion)

n = 3/2 : bord du ruban de Möbius à 3 torsions.

 

Lorsque p et q ne sont pas premiers entre eux, si l'on pose d = pgcd(p, q), p' = p/d, q' = q/d, n = p/q = p'/q', le solénoïde torique de type (p', q') et ses d -1 images par les rotations d'angle 2p/p d'axe l'axe du tore forment un entrelacs de d noeuds torique de type (p', q'), dénommé entrelacs de type (p, q). C'est également un entrelacs premier à nombre minimal de croisements p (q - 1) pour p > q (?).

Voici quelques exemples :

type (2,2),  entrelacs premier 212 entrelacs de Hopf	type (4,2),  entrelacs premier 412	type (4,4)	type (6,2), entrelacs premier 612	type (6,3)
type (6,4), deux noeuds de trèfle enlacés	type (8,2)	type (8,4)	type (8,6)	type (9,3)

On peut réaliser l'entrelacs torique de type (p, q) en prenant q brins de même longueur mis côte à côte, en effectuant une torsion de p q-ièmes de tours et en recollant les brins bout à bout.
 

Par exemple pour le noeud (8, 3), il y a trois brins recollés après une torsion de 8 tiers de tours

Ce même noeud en scultpture par J. Robinson Philip Trust Collection

Voir de magnifiques figures et explications sur les sites :
www.cpm.informatics.bangor.ac.uk/sculpmath/pagesm/torus.html    et    www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/knot-theory/torus_xing.html

Les noeuds toriques sont aussi parfois définis sur le tore de Clifford ; leur paramétrisation y est beaucoup plus simple :  ; par identification de  avec , on peut aussi les voir comme l'image du cercle unité  par l'application : .

Les noeuds et entrelacs toriques pour p > 2q sont équivalents aux noeuds et entrelacs polygrammiques.

Comparer aussi avec les géodésiques du tore.

Achetez des pendantifs en noeud torique : www.golden-knots.com/pendant.html

Ce dessin représente en apparence un entrelacs torique de type (16,4), mais on remarquera que les croisements sont alternés (dessus-dessous), ce qui n'est pas le cas des entrelacs définis ci-dessus.

gravure de J. Mandonnet même remarque pour ce qui est en apparence un noeud torique de type (8,3)

 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005