courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

CONCHOÏDE DE ROSACE
Cyclic-harmonic curve

Courbes étudiées par R. E. Moritz en 1917 (Loria p. 428).
Autre noms : pétale géométrique, courbe botanique, rosace de Troie (dans le cas  e > 1), courbe cyclo-harmonique, sinusoïde circulaire, courbe de Moritz.

 
Équation polaire :  avec n réel > 0.
Courbe algébrique ssi n est rationnel.
Aire pour e < 1 et n entier : .
Cas particulier où l'abscisse curviligne s'intègre élémentairement : , ou  (donc pour e > 1, n <1) :
Abscisse curviligne : .

Les conchoïdes de rosace sont, comme leur nom l'indique, les conchoïdes de rosaces par rapport à leur centre.
Ce sont aussi les transformées de Brocard des limaçons de Pascal, par rapport à leur pôle.
La courbe est formée d'un motif de base symétrique par rapport à Ox obtenu pour  :
 

motif de base pour  e > 1

motif de base pour e = 1

motif de base pour e < 1

transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, p rotations donnent toute la courbe.

Cas e < 1 :
Pour n = p / q, la conchoïde de rosace de paramètre n est une des projections possibles du noeud de bonnet turc de type (p,q) ; ses p sommets externes et ses p sommets internes forment un polygone régulier, et elle possède p(q 1) points doubles.
 

n = 1 

n  = 2 : cacahuète

n = 3 

n = 4

n = 5 étoile de mer

n = 1/2 

 n = 3/2
projection du noeud de trèfle

n = 5/2
projection du noeud 5.1

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 

n = 2/3
projection du noeud de huit

n = 4/3
projection du noeud 8.18

n = 5/3
projection du noeud 10.123

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4
projection du noeud 9.40

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Cas e = 1 :

n = 1 : cardioïde

n  = 2 : oeuf double

n = 3 

n = 4

n = 5

n = 1/2 

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Cas  e > 1, les rosaces de Troie :
 

n = 1 : limaçon de Pascal à boucle

n  = 2 : trisectrice de Ceva

n = 3 

n = 4

n = 5

n = 1/2 : néphroïde de Freeth

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Les conchoïdes de rosace sont les vues de dessus des solénoïdes toriques.

Les inverses de conchoïdes de rosaces sont les polygastéroïdes.

Comparer aussi avec les folioïdes.
 
Remarque : si l'on met une valeur absolue autour du cos, l'étoile de mer devient plutôt une fleur de tournesol :

 

La forme de la la conchoïde de rosace pour n = 3 et e < 1 : , avec une petite dilatation, n'a pas échappé à l'oeil des taupins qui l'ont dénommée pinochoïde
A droite une variante plus élaborée : .

 

 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL  2015