Équation polaire :  avec n réel > 0. Courbe algébrique ssi n est rationnel.

Les conchoïdes de rosace sont, comme leur nom l'indique, les conchoïdes de rosaces par rapport à leur centre.

La courbe est formée d'un motif de base symétrique par rapport à Ox obtenu pour  :
 

motif de base pour  e > 1

motif de base pour e = 1

motif de base pour e < 1

transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, p rotations donnent toutes la courbe.

Cas e < 1 :

n = 1	n  = 2 : cacahuète	n = 3	n = 4	n = 5 étoile de mer
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n  = 1/3	n = 2/3 vue de dessus du noeud de huit	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

 

Cas e = 1 :

n = 1 : cardioïde	n  = 2 : oeuf double	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n  = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

Cas  e > 1, les rosaces de Troie :
 

n = 1 : limaçon de Pascal à boucle	n  = 2 : trisectrice de Ceva	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2 : néphroïde de Freeth	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n  = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

Les conchoïdes de rosace sont les vues de dessus des solénoïdes toriques.

Les inverses de conchoïdes de rosaces sont les polygastéroïdes.

Comparer aussi avec les folioïdes.
 

Remarque : si l'on met une valeur absolue autour du cos, l'étoile de mer devient plutôt une fleur de tournesol :

La forme de la la conchoïde de rosace pour n = 3 et e < 1  avec une petite dilatation n'a pas échappé à l'oeil des taupins qui l'ont dénommée pinochoïde :  A droite une variante plus élaborée :

 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2006