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ROSACE
Rose (rhodonea), Rosenkurve (Rhodonee)

Courbe étudiée par Guido Grandi en 1723, et par E. W. Hyde en 1875.
Autres noms : rhodonnée, rose (de Grandi), multifolium.

 
Équation polaire :   (ou bien  ) avec n réel > 0.
Courbe algébrique ssi n est rationnel ; si p et q sont les numérateur et dénominateur de n, le degré est  p + q si p et q sont impairs, et  2(p + q) sinon.
Longueur d'un pétale : .
Aire d'un pétale :  ; l'aire délimitée par la courbe entière est la moitié de celle du disque circonscrit si n est un entier pair, et le quart si n est un entier impair.

Les rosaces sont les transformées de Brocard d'un cercle, le pôle étant situé sur le cercle.
 
On peut les définir cinématiquement comme lieux d'un point d'un segment décrivant un mouvement de rotation uniforme autour de son centre, le point décrivant le segment d'un mouvement sinusoïdal. Le mouvement a donc pour représentation polaire :  ; on obtient l'équation ci-dessus en posant .
Ceci peut s'obtenir en pratique par le tracé des petites oscillations d'un pendule en rotation uniforme autour d'un axe vertical.

 
Les rosaces sont aussi obtenues comme trajectoires du deuxième point d'intersection d'une droite et d'un cercle en rotation uniforme autour d'un de leurs points, ou comme trajectoires du deuxième point d'intersection de deux cercles en rotation uniforme autour d'un de leurs points.

Dans le premier cas, si la vitesse du cercle est k fois celle de la droite, la rosace est d'indice n = k1, et dans le deuxième, si la vitesse du cercle est k fois celle de la droite, la rosace est d'indice n = (k 1) / (k + 1)
 

Les rosaces sont aussi les trochoïdes à centre passant par le centre ; plus précisément, telles que :
    - si la trochoïde est définie par roulement cercle sur cercle  : la distance du point traceur au centre du cercle mobile est égale à la distance entre les cercles fixe et mobile.
    - si la trochoîde est définie comme somme de deux mouvements circulaire : les rayons sont identiques.

Encore plus précisément :
   - pour n > 1 la rosace est une hypotrochoïde (cercle de roulement de rayon  , cercle roulant de rayon  , distance du point au cercle roulant =  ), et c'est aussi une podaire par rapport à O d'hypocycloïde (cercle de roulement de rayon na, cercle intérieur de rayon na/qavec ) ; on peut donc l'obtenir à l'aide d'un spirographe.

    - pour 0 <  < 1, c'est une épitrochoïde (cercle de roulement de rayon  , cercle roulant de rayon , distance du point au cercle roulant =   ) et c'est aussi une podaire par rapport à O d'épicycloïde (cercle de roulement de rayon  , cercle extérieur de rayon a/pq avec ).
Application : un jongleur de bolas tient une chaîne de même longueur que son bras, tous deux tournant à vitesse constante ; quand son bras fait p>0 tours, sa chaîne en fait q (on prend q >0 si les mouvements sont dans le même sens, et q < 0 sinon).
Alors l'extrémité de sa chaîne décrit une rosace d'indice .

p = 1 q = -5 : on obtient la rosace d'indice 3/2
p = 1 q = -5 : on obtient la rosace d'indice 2/3

Si l'on enroule le plan du cercle en un cône de sommet O et de demi-angle au sommet a, d'axe Oz, la projection sur xOy de ce cercle enroulé est la rosace : , ce qui fournit une construction de ces dernières à partir d'un simple cercle dans le cas n < 1.

Les rosaces s'obtiennent aussi par projections à partir des couronnes sinusoïdales, par l'intermédiaire des vasques 3D.

La courbe est formée d'un motif de base - le pétale ou branche / feuille / lobe - symétrique par rapport à Ox obtenu pour :

transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, et de dénominateur q, la courbe est symétrique par rapport à O ssi p ou q est pair.

Dans ce cas, la courbe est formée de 2p pétales issus du pétale de base par rotations d'angles  et  + p.

Lorque p et q sont impairs, la courbe est formée de p pétales issus du pétale de base par rotations d'angles .

Exemples :

n = 1 : cercle 

n  = 2 : trèfle à 4 feuilles 
(ou quadrifolium)

n = 3 : trifolium régulier

n = 4

n = 5

n = 1/2 :
folium de Dürer

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 : limaçon trisecteur

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Quand n est irrationnel, la rosace est dense dans le disque D(O, a).

Les rosaces sont les vues de dessus des clélies.

Ce sont aussi les inverses des épis et les podaires des cycloïdes à centre.

Comparez-les avec les spirales sinusoïdales.

Voir aussi à conchoïde de rosace et à radiale et cône sécantoïdal.

Voir aussi les rosaces rhombiques.


 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2015