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COURBE DE RIBAUCOUR
Ribaucour curve, ribaucoursche Kurve


Problème posé par Jean Bernoulli en 1716, résolu par Taylor en 1717 ; courbe étudiée ensuite par Ossian Bonnet en 1844 et Ribaucour en 1880.
Albert Ribaucour (1845-1893) : ingénieur et mathématicien français.
Voir aussi ce lien.

 
Equation différentielle du second ordre : .
Equation du premier ordre : .
Equation cartésienne : .
Paramétrisation cartésienne : , avec .
Courbe algébrique pour k entier impair.
Abscisse curviligne donnée par : .
Rayon de courbure : .

 
reconnaître le cercle et la cycloïde
Pour k entier >0, on peut prendre t quelconque ; la courbe est fermée pour k impair, périodique pour k pair.
Pour k >0 et non entier, prendre .

Cas k = -1/4, -1/2, -1 (chaînette), -2 (parabole).
Pour k < 0 prendre ; la courbe est à asymptote verticale pour k > 1, à branche parabolique sinon.

 
Une courbe de Ribaucour est une courbe dont tout point M vérifie I est le centre de courbure en M, N le point d'intersection de (MI) avec une droite (D)  donnée (ici : Ox) et k une constante fixée. 

Autrement dit, en prenant Ox comme droite (D), ce sont les courbes telles que le rayon de courbure est proportionnel à la normale : Rc = k N.

La courbe de Ribaucour d'indice k est aussi le lieu du pôle de la spirale sinusoïdale roulant sans glisser sur (D), avec .

Elle est enfin la solution du problème de calcul des variations consistant à déterminer les courbes rendant extrémale l'intégrale  ; c'est pourquoi on la retrouve aussi comme trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu inhomogène : voir cette page consacrée au principe de Fermat.

Cas particuliers :
 
Indice de la courbe de Ribaucour Nature de cette courbe Indice 
de la spirale sinusoïdale roulante
Nature de cette spirale figure Intégrale dont la courbe de Ribaucour est l'extrémale Interprétation
k = 2 parabole de directrice (D) n = 1/3 cubique de Tschirnhausen, avec point traceur au foyer
 
k = 1 chaînette de base (D) n = 1/2 parabole, avec point traceur au foyer
courbe joignant A à B rendant minimale l'aire de la surface engendrée par sa rotation autour de (D), surface qui est un caténoïde.
k = 1/2 voir dernière colonne n = 2/3 antipodaire centrale de l'hyperbole équilatère
fil pesant homogène joignant A à B de moment d'inertie minimal
k = 0 point n = 1 droite .... ....
k = 1/2 Roulette de Sturm équilatère
ou lintéaire droite
n = 2 hyperbole équilatère
?
k = 1 cercle centré sur (D) n infini ....   géodésique dans le demi-plan de Poincaré
k = 3/2   n = 2 lemniscate de Bernoulli voir l'animation ci-dessus ?
k = 2 cycloïde à points de rebroussement sur (D) n = 1 cercle, avec point traceur sur le cercle courbe brachistochrone
k = 3 sextique 
n = 1/2 cardioïde, avec point traceur à la pointe ?
k infini droite n = 0 point   la droite est le plus court chemin d'un point à un autre...

Nota : l'équation  montre que les courbes de Ribaucour pour k différent de 0, peuvent être définies par  ; on peut alors considérer que la courbe d'ordre 0 est la courbe définie par  qui n'est autre que la chaînette d'égale résistance.

Obtention des équations à partir des 3 définitions ci-dessus :
 
Démonstration à partir de la définition par la propriété des normales. Démonstration à partir du roulement de la spirale sinusoïdale Démonstration à partir du problème de calcul des variations
L' équation Rc = k N s'écrit , d'où  et  donnant l'équation à variables séparables  conduisant à la solution de l'encadré ci-dessus. L'équation de la roulette du pôle de la courbe d'équation polaire  est (1) ; or pour la spirale sinusoïdale et donc (1) devient , CQFD. L'équation d'Euler-Lagrange appliquée à l'intégrale  conduit à l'équation différentielle , ce qui donne, avec , l'équation différentielle . En posant , on obtient bien la paramétrisation ci-dessus.

La courbe de Mannheim d'une courbe de Ribaucour est une courbe de Ribaucour de paramètre k 1.

La rotation d'une courbe de Ribaucour autour de l'axe Ox donne une surface de révolution dont les courbures principales sont proportionnelles en tous points.
 
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© Robert FERRÉOL 2019