Caténoïde

CATÉNOÏDE
Catenoid, Katenoid

Surface étudiée par Euler en 1740.
Le nom vient de catena : chaîne, qui est aussi le nom latin de la chaînette.
Autre nom : alysséide, du grec alusion "petite chaîne" (donné par Bour en 1862).

Équation cylindrique :

.
Paramétrisation cartésienne :

(

).
Paramétrisation où les lignes de coordonnées sont les loxodromies faisant un angle

avec les parallèles, qui sont aussi les lignes asymptotiques pour

= 45° [Fedenko ex 807] :

.
Première forme quadratique fondamentale :

où

.
Elément d’aire :

.
Deuxième forme quadratique fondamentale :

.
Courbure de Gauss :

, rayons de courbure principaux :

, courbure moyenne nulle (surface minimale).
Aire de la portion pour

.
Volume :

Le caténoïde est la surface de révolution engendrée par la rotation d'une chaînette autour de sa base.

La courbure moyenne en tout point étant nulle, c’est une surface minimale ; c'est d’ailleurs la seule surface de révolution minimale. C'est aussi la seule surface minimale ayant pour géodésique un cercle.

On obtient la paramétrisation en prenant et dans la paramétrisation de Weierstrass d'une surface minimale.

Considérons deux anneaux circulaires parallèles de diamètres D distants de d ;
On montre que si d/D < 0,66, il existe 3 surfaces minimales s'appuyant sur ces deux anneaux : 2 caténoïdes et la surface dite de Goldschmidt formée des deux disques limités par ces anneaux.
On montre que pour d/D < 0,53 la surface d'aire minimale parmi ces 3 est l'une des 2 caténoïdes (en rouge ci-contre) ; mais à partir de 0,53, c'est bizarrement la surface de Goldschmidt qui est d'aire minimale.
Et à partir de 0,66, c'est de toute façon la seule : il n'y a plus de caténoïde s'appuyant sur les anneaux.
Rem :
- la constante 0,66 (constante de Laplace) est une valeur approchée de 1/ sh u , u étant défini par u = coth u, u > 0 .
- la constante 0,53 est une valeur approchée de la solution de 2ch((x^2+1)/2) = x+1/x.

Animation montrant le profil des 2 caténoïdes pour d/D allant de 0,1 à 0,66 ;
Sur cette photo, la limite théorique d'éclatement de 0,53 semble avoir été nettement dépassée...

Un caténoïde peut être transformé continûment et isométriquement en un hélicoïde droit, la surface restant constamment minimale.
Équations de cette transformation :
Les surfaces intermédiaires sont les hélicoïdes minimaux.

Voir aussi le caténoïde gauche, le trinoïde, et la révolution axiale de la chaînette.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres