Notion étudiée par Dupin. Du grec asumptôtos : qui ne s'affaisse pas.

 

Équation différentielle :   où  est le vecteur normal à la surface en M, soit  (annulation de la deuxième forme quadratique fondamentale).

Les (lignes) asymptotiques d’une surface possèdent les trois définitions équivalentes suivantes :

DEF 1 :  ce sont les courbes tracées sur la surface qui sont tangentes en chaque point à l'une des directions asymptotiques (c'est-à-dire l'une des directions où la courbure est nulle ou encore l'une des asymptotes de la conique indicatrice de Dupin relative à ce point, ou l’axe de celle-ci lorsqu’elle se réduit à deux droites parallèles).

DEF 2 : ce sont les courbes tracées sur la surface à courbure normale (c’est-à-dire la courbure de la section de la surface par le plan contenant la tangente à la courbe et la normale à la surface) constamment nulle.

DEF 3 : ce sont les courbes tracées sur la surface telles qu'en chaque point, le plan tangent à la surface est osculateur à la courbe.

Les lignes asymptotiques ne passent que par des points hyperboliques (en lesquels il en passe deux) ou paraboliques (en lesquels il n’en passe qu’une) de la surface.

Exemples :
 - les droites incluses dans la surface sont des lignes asymptotiques.
 - pour une surface développable, les asymptotiques sont les génératrices et elles seules.
 - Une surface est minimale ssi par tout point passent deux asymptotiques orthogonales.
 
 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2000