Surfaces étudiées par Lagrange en 1760, Meusnier en 1776, Monge en 1784, Legendre en 1787, Scherk en 1835, Weierstrass en 1866 etc... Autre nom : élassoïde. Sites :  Wikipedia allemand www-gat.univ-lille1.fr/~flaminio/MAO2003/minimal.pdf math.cl.uh.edu www.ugr.es rsp.math.brandeis.edu www.pourlascience.com www.arte-tv.com http://www.poleditions.com/jeener/jeener.htm

 

Équation aux dérivées partielles : , soit . Paramétrisation de Weierstrass : , avec , où f est une fonction méromorphe et g une fonction holomorphe. Première forme quadratique fondamentale pour le cas  : .

 .
Une surface minimale est une surface dont chaque point possède un voisinage qui est une surface d'aire minimale parmi les surfaces de même bord que ce voisinage. Une condition nécessaire et suffisante est que la courbure moyenne en tout point soit nulle, autrement dit que les deux rayons de courbure principaux soient opposés en tout point, ou encore que l'indicatrice de Dupin soit une hyperbole équilatère ; excepté dans le cas du plan, ses points sont donc tous hyperboliques ; les lignes asymptotiques forment un double réseau de courbes orthogonales, et les lignes de courbures sont leurs bisectrices.

Cette condition de courbure moyenne nulle signifie que l'énergie de courbure est nulle et donc que la stabilité de ces surfaces est maximale ; elle est réalisée physiquement par tout film de savon soumis à des pressions égales de chaque côté (lorsque les pressions diffèrent, on obtient des surfaces à courbure moyenne constante).

Toute surface d'aire minimale s'appuyant sur une ou plusieurs courbes bornées est minimale au sens ci-dessus. La réciproque en est fausse : par exemple, une portion d'hélicoïde droit entre deux segments de droites parallèles est une surface minimale mais d'aire supérieure à celle d'une portion de plan.

Le théorème de Plateau (Joseph Plateau (1801 - 1883) : physicien belge) affirme qu'il existe toujours une surface minimale dont le bord est un contour fermé borné simple donné ; de plus ces surfaces sont d'aire minimale, ne se recoupent pas et sont en nombre fini.

Exemples :
 - le caténoïde (1740), seule surface de révolution non plane qui soit minimale.
 - l’hélicoïde droit (1776) seule surface réglée non plane qui soit minimale.
 - les hélicoïdes minimaux (1835) comprenant les deux précédentes.
 - les surfaces de Scherk (1835), la première étant la seule surface de translation qui soit minimale.
 - la surface d'Enneper (1863).
 - la surface minimale de Catalan.
 - la surface de Costa
 - les surfaces minimales périodiques.

les surfaces minimales ont eu leur heure de gloire en architecture dans les années 60 et 70 avec les recherches et les réalisations de l'architecte allemand Frei Otto : pavillon de l'Allemagne à l'exposition universelle de Montréal (1967) ; couverture du stade olympique, du stade d'athlétisme et de la piscine olympique de Münich (1972). La forme de ces structures résulte de recherches tout à fait empiriques basées sur la géométrie de films de savons s'appuyant sur des contours déterminés : se reporter au chapitre 5 du livre « Mathématiques et formes optimales » de S. Hildebrand et A. Tromba (1986 - Pour la Science - diffusion Belin) L'Institut für leichte Flächentragwerke dirigé par Frei Otto a publié une série de cahiers sur de nombreux sujets relevant de ce que l'on désigne souvent sous le terme de « géométrie constructive »
 
 

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© Robert FERRÉOL   2006