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CATÉNOÏDE GAUCHE, SURFACE MINIMALE DE RIEMANN
Skew catenoid, minimal Riemann's surface, schiefes Katenoid, minimale riemannsche Fläche

Surface étudiée par Riemann en 1860, Enneper en 1869.
Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand.
Ref : [NITSCHE] p. 84.
Lien : www.indiana.edu/~minimal/archive/Classical/Classical/Riemann/web/index.html

 
Paramétrisation cartésienne :  (donnant pour u 1, la partie située dans le demi-espace 0).
Cercles horizontaux de rayon u centrés en  (courbe rouge ci-dessus).
Nota : les intégrales ci-dessus se calculent à l'aide des fonctions elliptiques.

Le caténoïde gauche d'équation donnée ci-dessus est la solution au problème de trouver les surfaces minimales cerclées. Notons que les cercles sont donc forcément parallèles entre eux, et la ligne des centres située dans un plan perpendiculaire à ceux des cercles.
Le caténoïde gauche fournit donc aussi une solution au problème de Plateau consistant à trouver une surface minimale joignant deux cercles situés dans des plans parallèles (mais notons qu'il y a des conditions sur les deux cercles pour que la surface existe - voir déjà le cas des cercles coaxiaux à caténoide).

Si on fait k = 0 dans les formules ci-dessus, on retrouve le caténoïde droit classique.
 
 
La surface est située entre les deux plans  et est asymptote à ces deux plans 
().
Par des translations du motif précédent et en ajustant les demi-plans asymptotes, on obtient une surface minimale lisse périodique, applée surface minimale de Riemann. Toutes les sections par des plans horizontaux sont des cercles ou des droites.
Image tirée de wikipedia

Voir aussi la surface minimale de Riemann finie.
 
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© Robert FERRÉOL  2014