Développante de cercle

DÉVELOPPANTE DE CERCLE
Circle involute, Kreisevolvente

Autre nom : anti-clothoïde.
Lien : article de Jean Lefort sur les applications aux engrenages.

Paramétrisation cartésienne :

(développante du cercle de centre O et de rayon a, avec contact en (a,0)).
Paramétrisation complexe :

.
Paramétrisation polaire :

(avec

).
Équation polaire :

.
Angle tangentiel cartésien :

.
Abscisse curviligne :

.
Rayon de courbure :

.
Équation intrinsèque 1 :

.
Équation intrinsèque 2 :

.
Équation podaire :

.
Equationndifférentielle cartésienne :

La définition de cette courbe tient dans son nom (voir à développante) !
C’est la courbe que trace la main droite déroulant une bobine de fil tenue dans la main gauche.

Les animations suivantes montrent l'application aux profils d'engrenages :

C'est ici comme si le "fil" était fixe et que la "bobine" tournait...
voir aussi http://casm.insa-lyon.fr/engrenag/bases/develop.htm

Pour t grand, la développante de cercle est asymptote à la spirale d'Archimède d'équation qui est d'ailleurs aussi sa podaire par rapport à O.
Cette dernière propriété a pour conséquence la suivante : si l'on fait tourner une développante de cercle uniformément autour de son centre, les tangentes à la développante ayant une direction donnée se déplacent en un mouvement de translation uniforme : c'est la raison pour laquelle les cames ont des profils de développante de cercle :

La développante de cercle possède aussi une définition cinématique, due aux relations : : c’est la courbe qui, parcourue d’un mouvement uniformément varié, est telle que la vitesse de rotation de la tangente est constante (d'où le nom d'anti-clothoïde : car la clothoïde, elle, est la courbe qui, parcourue d’un mouvement uniforme, est telle que la vitesse de rotation de la tangente est linéaire).

Autre définition cinématique :
Une personne P marche sur un plateau tournant à vitesse constante w autour d'un point O ; le mouvement de P sur le plateau est rectiligne uniforme de vitesse v et ne passe pas par O. Si v = k w /a où a est la distance de la droite de parcours à O, la trajectoire de P est donnée par ; c'est donc une développante de cercle lorsque k = 1.
Inversement, la trace d'une bille roulant librement sur le plateau (ayant donc un mouvement rectiligne uniforme dans le repère fixe) est une telle courbe.

Cas k = 1 : développante de cercle.
Cas k = -1.

La section de l'hélicoïde développable par un plan perpendiculaire à l'axe est une développante de cercle.

La projection d'une hélice du paraboloïde de révolution est une développante de cercle.

La développante de cercle est une sectrice et une quadratrice.

C'est une courbe autoparallèle : sa parallèle d'indice 2pa est elle-même.

Son inverse par rapport à son centre est la spirale tractrice, et son antipodaire est la caustique inverse de cercle.

Engrenages en développantes de cercles réalisés par Vincent Viton.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres