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COURBE PARALLÈLE À UNE AUTRE
Parallel curve (or offset) of a curve, Parallelkurve


Notion étudiée par Leibniz en 1692.
Autre nom : courbe équidistante (à ne pas confondre avec la courbe d'équidistance).

 
Les courbes  et  sont parallèles si on peut déterminer des points courants respectifs M1 et M2 tels que .
Pour une courbe de départ :  de point courant , une parallèle est un ensemble  des points .
Paramétrisation cartésienne : .
Les courbes parallèles à une courbe algébrique sont algébriques.
Abscisse curviligne au point courant de  (orienté par le même vecteur tangent que ) : .
Rayon de courbure : .
La longueur d'un arc de  est égale à celle de l'arc correspondant sur  diminué de a multiplié par l'angle balayé par la tangente entre le départ et l'arrivée. Pour un huit par exemple, les deux courbes ont donc même longueur. La longueur de  est égale à la moyenne des longueurs de  et de .
L'aire de la bande comprise entre deux arcs correspondants de  et de  est égale à la longueur de l'arc médian  fois a, ceci à condition que la bande ne se recoupe pas elle-même, ni n'empiète sur la développée de .

Deux courbes sont dites parallèles si toute normale à l'une est une normale à l'autre ; on montre qu'alors la distance entre deux points à normale commune est une constante, appelée distance de parallélisme ; ne pas confondre avec des courbes translatées l'une de l'autre.

Deux courbes sont donc parallèles si ce sont les lieux des extrémités d'un segment de longueur constante se déplaçant toujours orthogonalement à sa direction, ce qui équivaut à ce que la droite portant ce segment roule sans glisser sur son enveloppe.

Voir aussi à reptoire la génération des parallèles par reptation d'un cercle sur une courbe.

Comme pour les droites, la relation de parallélisme des courbes planes est une relation d'équivalence.
Une classe d'équivalence est l'ensemble des trajectoires des points liés à une droite qui roule sans glisser sur une courbe ; la droite mobile est la normale commune à toutes les parallèles, et la droite fixe la développée commune à toutes ces courbes.
Les courbes parallèles à un courbe sont donc les développantes de sa développée.
 
La développante présentant (en général) un rebroussement en un point de la courbe de départ, la développée apparait comme le lieu des points de rebroussement des courbes parallèles.

Ci-contre, animation d'une normale roulant sans glisser sur la développée, traçant une parallèle à rebroussement (en rouge), qui est une des développantes de la développée (en vert).

Les courbes parallèles à une courbe  sont les courbes , parallèle d'indice a à , obtenues en reportant algébriquement une "longueur" a à partir des points de  sur la normale orientée, autrement dit le lieu des points M   où  est le vecteur normal en M0. La relation de parallélisme étant symétrique,  est aussi parallèle à .

La réunion de  et  est l' enveloppe des cercles de rayon a centrés sur  ; c'est donc aussi le contour apparent de la projection d'un tube dont l'âme se projette suivant .

Si l'on place la courbe  dans un plan ayant un mouvement de translation circulaire de rayon a par rapport à un plan fixe, l'enveloppe dans le plan fixe est de nouveau la réunion de  et .

On peut voir les courbes parallèles à une courbe , comme les courbes de niveau planes d'une surface d'égale pente ayant  pour directrice.

Interprétation physique : la courbe  étant une source lumineuse, d'après le principe de Huygens, les "fronts d’ondes" sont les enveloppes des ondelettes élémentaires circulaires émises par tous les points de la courbe  ; ce sont donc exactement les courbes parallèles à .

Les points singuliers des courbes parallèles décrivant la développée de la courbe de base, avec l'interprétation physique précédente, la développée représente donc le lieu où sont concentrés les rayons lumineux émis par la courbe lumineuse.

Exemples :
    - les courbes parallèles à une droite sont les droites parallèles à cette droite (!)
    - les développantes d'une courbe sont parallèles entre elles.
    - les toroïdes sont les courbes parallèles à l'ellipse
    - la sextique de Cayley est l'une des courbes parallèles à la néphroïde
    - les courbes parallèles à la parabole x² = 2p y sont les courbes de paramétrisation : 
Ci-contre, illustration de la construction des deux parallèles à distance donnée à la parabole, par enveloppe d'un cercle dont le centre décrit la parabole (non tracée sur les figures), ou par enveloppe des "translatées circulaires" de la parabole.

    - Il peut arriver que les courbes  et  soient égales ; la courbe  est alors parallèle à elle-même avec une distance 2 a.
 
La courbe rouge est parallèle de deux façons à la courbe bleue, et auto-parallèle.

 Une notion voisine est la notion de courbe de niveau de la fonction "distance (d'un point du plan) à la courbe", appelée courbe (ou ligne) de distance. Ces courbes de niveaux sont formées de portions de courbes parallèles et d'arcs de cercles, et présentent l'intérêt de constituer une partition du plan, contrairement aux courbes parallèles.


En vert les courbes parallèles, et en rouge, les courbes de niveau de la fonction distance à la courbe ; lorsque ces dernières ne se superposent pas à la courbe parallèle, ce sont des arcs de cercle.

Voir aussi les courbes parallèles en 3D et les surfaces parallèles.
 
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© Robert FERRÉOL  2019