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SPIRALE DE STURM
Sturmian spiral, Sturmsche Spirale


Courbe étudiée par Sturm en 1857 et Masurel en 2014.
Autre nom, dans cet article  : courbe de Mannheim.

Les spirales de Sturm sont les courbes telles que le rayon de courbure est en tout point proportionnel à la distance à un point fixe : .
Le cas particulier e = 1 est étudié à spirale de Norwich.
 
Équation différentielle :  (p est le rayon podaire).
Intégrale première : , d'où l'équation polaire : .

 
 
Si a = 0, alors , qui n'est autre qu'une spirale logarithmique, avec le cas limite du cercle pour e = 1 (pas de solution pour e < 1).
Cas elliptique, e<1 
Paramétrisation cartésienne :  où .
Paramétrisation complexe :  (il s'agit donc d'une tritrochoïde).
Abscisse curviligne : . Angle tangentiel cartésien : .
Rayon de courbure : 
Lorsque q est rationnel, l'ordre de la symétrie de rotation est égal au dénominateur de q moins 1.
Cas hyperbolique, e >
Paramétrisation cartésienne :  où .
Abscisse curviligne : 
Angle tangentiel cartésien : .
Rayon de courbure : .

Propriétés remarquables (y compris dans le cas e = 1) :
     - La roulette à base rectiligne d'une spirale de Sturm est une courbe de Duporcq de même paramètre e (d'où l'utilisation de cette lettre e, associée à l'excentricité d'une conique).
    - la développée de la spirale de Sturm dans le cas elliptique est une épicycloïde
    - la développée de la spirale de Sturm dans le cas hyperbolique est une para-  ou une hypercycloïde.
 
 
Considérons maintenant les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle  donne comme intégrale première  , d'où l'équation polaire :   
Le cas c = 0, donne  qui n'est autre qu'une lemniscate de Bernoulli.
La courbure d'une lemniscate est proportionnelle à la distance au centre.
Enfin, l'une des solution de est la cardioïde.  

Comparer avec la courbe élastique, ou radioïde aux abscisses, courbe telle que la courbure est proportionnelle à la distance à une droite fixe.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2015