Du grec "Dodeka" douze et "edros" siège, base. Lien : mathematische-basteleien.de/pentagondodekaeder.htm

Un dodécaèdre est un polyèdre à 12 faces.

Il existe plus de 6 millions de  types de dodécaèdres différents dont voici la répartition suivant le nombre de sommets :
 

Nombre de sommets	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Nombre de dodécaèdres	14	558	8822	64439	268394	709302	1263032	1556952	1338853	789749	306470	70454	7595

Le plus célèbre est le dodécaèdre régulier (20 sommets) dont on trouvera ci-dessous la carte de visite, mais il y a aussi le dodécaèdre rhombique (14 sommets), le triaki-tétraèdre (8 sommets) et le dodécadeltaèdre (8 sommets) ; Voir ici une liste plus complète.
 
 

Famille	polyèdres réguliers
Historique	10 siècles av. JC, les étrusques utilisaient des dés dodécaèdriques ; solide décrit par Platon en 370 av. J.C.
Dual	icosaèdre régulier¬ dual polaire du dodécaèdre par rapport à sa sphère circonscrite
Faces	12 pentagones réguliers
Sommets	20 sommets de degré 3, de code de Schläfli 53
Arêtes	30 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 116° 33' 54"
Patron	(il y en a 43380 en tout !)
Graphe	Comparer avec une citadelle de Vauban !  Ce graphe n'est pas semi-eulérien (il n'y a pas de chemin passant une fois exactement par chaque arête) mais il est hamiltonien : il existe un chemin fermé passant une fois exactement par chaque sommet ; voir la réponse plus bas. Ses faces sont coloriables avec au minimum 4 couleurs.
Diamètres	sphère inscrite :  ; intersphère (tangente aux  arêtes) :  ; sphère circonscrite :  où  est le nombre d'or.
Mensurations	volume :     aire :  coefficient isopérimétrique :
Coordonnées  des sommets (voir le repère dans  la première vue ci-dessus)	12 sommets  permutés circulairement, et 8 sommets d'un cube  2 sommets étant reliés par une arête sssi leur distance vaut a.
Constructions	n°1 : comme dual de l'icosaèdre. n°2 :  cube augmenté de 6 "toits" voir aussi l'anaglyphe en haut de page Le toit de faîte [KH] surmontant le carré ABCD est entièrement défini par le fait que ses arêtes ([AH], [KH], etc) ont même longueur et forment entre elles des angles égaux (AHB = AHK etc).
Plans de symétrie	15
Axes de rotation	6 axes passant par 2 centres de faces opposées (4 rotations d'ordre 5 par axe) 15 axes passant par les milieux de 2 arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2 par axe) 10 axes passant par 2 sommets opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
Groupe des isométries	ordre 120 : 60 rotations (l'identité, 12 cinquièmes de tours, 12 deux cinquièmes de tours, 20 tiers de tours, 15 demi-tours) et 60 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 15 réflexions) Le sous-groupe des 60 rotations est isomorphe au groupe A5  des permutations paires de 5 objets (action sur un ensemble de 5 tétraèdres réguliers inscrits).
Polyèdres dérivés	par troncature forte : icosidodécaèdre ; par troncature faible : dodécaèdre tronqué  ; par facettage : icosidodécaèdre tronqué ; par augmentation : pentaki-dodécaèdre, triacontaèdre rhombique. Le grand dodécaèdre étoilé à les mêmes sommets que l'icosaèdre.

Voici un cycle hamiltonien du graphe ; on peut montrer que c'est le seul, à isométrie de l'icosaèdre près.

 
 

Projection centrale du squelette du dodécaèdre sur la sphère circonscrite : on obtient un pavage régulier de la sphère par 12 pentagones sphériques réguliers ; remarquons qu'il est impossible de paver le plan avec des pentagones réguliers !

 

Le dodécaedre étant le polyèdre régulier ayant le maximum de sommets, le nombre maximal de calottes sphériques que l'on peut placer sur la sphère de sorte que chacune soit tangente à un même nombre d'autres calottes est égal à 20, et leurs centres sont au sommet d'un dodécaèdre régulier. Cependant, cette configuration ne donne pas la réponse au problème des dictateurs ennemis dans le cas n = 20, problème demandant comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les états de chaque dicateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas. On sent bien qu'il y a encore beaucoup de bleu par rapport au rouge...  On ne connait pas actuellement la configuration optimale. Sources : Marcel Berger, Pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.

 

Polyèdre composé formé du dodécaèdre et de l'icosaèdre dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes  ; la partie commune est l'icosidodécaèdre. L'enveloppe des sommets est le triacontaèdre rhombique.

 

Dodécaèdre avec pavage d'Escher

Foot et dodécaèdre...

 
 

Superbe casse-tête dodécaédrique

Vu Au Trait en Seine Maritime

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2005