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PENTAKI-DODÉCAÈDRE
Pentakis dodecahedron, Pentakisdodekaeder


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Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Programme Maple de tracé (enregistrer la cible du lien)

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Famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce ou polyèdre de Catalan
Historique étudié par Catalan en 1862
Autre nom pentadodécaèdre ou dodécaèdre à toits
Dual icosaèdre tronqué
Faces 60 triangles isocèles d'angle au sommet .
Sommets 12 sommets de degré 5, de code de Schläfli 35 et 20 sommets de degré 6 de code de Schläfli 36
Arêtes 60 arêtes de longueur a et 30 arêtes de longueur  (celles du dodécaèdre de base)
Patron, graphe, et 3-coloriage
Diamètres sphère inscrite : 1,45 a ; sphère circonscrite ... ;
Mensurations volume :    aire : 
Construction dual de l'icosaèdre tronqué
dodécaèdrelaugmenté sur chaque face par une pyramide droite à base pentagonale de hauteur  fois l'arête b du pentagone.
Groupe des isométries = celui de l'icosaèdre.

 
Abat-jour Leroy-Merlin, structure gonflable en forme de pentaki-dodécaèdre...

 
Pentaki
-dodécaèdre adouci
Le dual du précédent.

Voir une superbe réalisation en bois par Roland Gagneux.


 
 
Divers polyèdres obtenus par augmentation sur les faces du dodécaèdre régulier.
En prenant a = 1 pour l'arête du dodécaèdre, si G est le centre d'une face du dodécaèdre, on a .
Pour le sommet de la pyramide, on prend .
On obtient successivement :
 - pour , un polyèdre non convexe à faces équilatérales rentrantes,
 - pour = 1 , le dodécaèdre (angle en M des triangles : 72°)
  - pour , le polyèdre de l'encadré suivant (angle en M des triangles : )
 - pour , le pentaki-dodécaèdre (angle en M  des triangles : ),
 - pour , le triacontaèdre rhombique (angle en M  des triangles : ),
 - pour , un polyèdre à faces équilatérales sortantes (non convexe).

 
L'intersection de 10 prismes hexagonaux réguliers pleins dont les axes sont les 10 diagonales d'un dodécaèdre (ou les 10 diagonales faciales d'un dodécaèdre) forme un solide dont la surface est un polyèdre équivalent au pentaki-dodécaèdre, obtenu pour  dans la définition précédente.
Remarquer que chacune des 6 faces d'un prisme fournit 6 faces du polyèdre, qui possède donc bien 60 faces.


 


 
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© Robert FERRÉOL 2024