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HYPEROCTAÈDRE DE DIMENSION 4
16-cell, 16-Zeller
Image réalisée par Alain Esculier.

L'hyperoctaèdre de dimension 4 est l'analogue en dimension 4 de l'octaèdre en dimension 3.
 
Autres noms 4-cocube, "16 cellules", C16, hexadécachore, hexadécatope, 4-orthoplexe
Famille polychore régulier et cocube
Dual hypercube de dimension 4
Symbole de Schläfli {3, 3, 4} (4 tétraèdres autour de chaque arête)
Cellules 16 tétraèdres
Faces 32 triangles
Arêtes 24 arêtes de longueur a appartenant chacune à 4 faces et à 3 cellules.
Sommets 8 sommets appartenant chacun à 6 arêtes, 12 faces, et 8 cellules.
Base de calotte octaèdre
Patron
Graphe des arêtes

 graphe complet privé d'un couplage parfait, donc régulier de degré 6.
Diamètres hypersphère inscrite : a /; hypersphère circonscrite : .
Mensurations hypervolume de l'hyperoctaèdre plein : 
volume de sa frontière : 
Coordonnées 
des sommets
où tous les  sont nuls sauf un, égal à .
Les 4 sommets d'une cellule sont formés de 4 points où la coordonnée non nulle n'est pas à la même place.
Équation cartésienne de l'hyperoctaèdre plein :  donnant la réunion des cellules pleines, autrement dit la frontière de l'hyperoctaèdre plein.

Groupe des isométries
ordre 384 = 27.3 = 24.4!
Pavage L'hyperoctaèdre pave l'espace de dimension 4.
Sites en.wikipedia.org/wiki/Hexadecachoron
www.polytope.de/c16.html
eusebeia.dyndns.org/4d/16-cell.html

 
De la dimension 1 à la dimension 2, un segment (1-cocube) devient un carré (2-cocube) De la dimension 2 à la dimension 3, un carré (2-cocube) devient un octaèdre (3-cocube) De la dimension 3 à la dimension 4, un octaèdre (3-cocube) devient un hyperoctaèdre (4-cocube)

de même que l'octaèdre est formé de deux pyramides à bases carrées, l'hyperoctaèdre est formé de deux hyperpyramides à bases octaédrales

Dans les animations ci-dessus, trois des projetés des axes de symétrie de l'hyperoctaèdre sont deux à deux orthogonaux, mais le projeté du 4ème n'est pas orthogonal aux autres ; dans les animations ci-dessous, les projetés des 4 axes sont équirépartis suivant les diagonales d'un cube ; défaut : les carrés et octaèdres nne sont plus réguliers...

 
De même que le carré (2-cocube) est formé d'une armature... et que l'octaèdre (3-cocube) est formé d'une armature ...
...de deux segments orthogonaux
...de 3 segments orthogonaux 2 à 2...
...ou de 3 carrés orthogonaux 2 à 2,
l'hyperoctaèdre (4-cocube) est formé d'une armature ...
...de 4 segments orthogonaux 2 à 2
de 6 carrés orthogonaux 2 à 2

ou de 4 octaèdres orthogonaux 2 à 2

un seul des 4 octaèdres représentés, avec ses 8 faces ; les 3 octaèdres restants fournissent les 24 faces restantes de l'hyperoctaèdre.

 
 
De même que la perspective (c'est-à-dire la perspective conique plane) d'un octaèdre sur un plan parallèle à une face donne la figure ci-dessous (un triangle inséré dans un triangle),  la perspective conique d'un hyperoctaèdre 4D sur un hyperplan parallèle à une cellule, elle même projetée (affinement cette fois) sur un plan, donne la figure ci-dessous (un tétraèdre inséré dans un tétraèdre).

 
 
De même que le tétraèdre est un demi-cube, l'hyperoctaèdre est un demi-hypercube, en ce sens qu'on peut le construire en ne prenant qu'un sommet sur deux de l'hypercube ; 8 des 16 cellules de l'hyperoctaèdre sont alors les demi-cellules de l'hypercube.

Voir aussi l'hyperoctaèdre de dimension quelconque.
 
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© Robert FERRÉOL 2010