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POLYÈDRE DE CSASZAR
Csaszar's polyhedron, Csaszarsches Polyeder

Akos Csaszar (1924- ) : Mathématicien hongrois.
Polyèdre découvert en 1949.
Lien vers un patron réalisé par Jean-Jacques Dupas.
Figure ci-dessus avec une face transparente réalisée par Alain Esculier.

Le polyèdre de Csaszar est un polyèdre à 7 sommets, 14 faces triangulaires et 21 arêtes, de genre 1 (ou torique, i.e. dont la surface est homéomorphe au tore) tel que chaque sommet est relié par une arête aux 6 autres (autrement dit le graphe associé est complet).
La vue de droite ci-dessus montre le "trou".

Remarques :
    - son existence prouve a posteriori que le graphe complet à 7 sommets peut être tracé sans croisement sur le tore.
    - le polyèdre est combinatoirement régulier, en ce sens que toutes les faces ont le même nombre d'arêtes (3) et tous les sommets sont de même degré (6), mais les faces ne sont pas géométriquement régulières (non équilatérales).
    - les sommets étant tous de degré pair, le polyèdre est coloriable en deux couleurs.
    - les 14 faces fournissent 14 groupes de 3 objets parmi 7 tels que toute paire d'objets appartient exactement à deux des 14 groupes de 3. Si l'on ne prend que les 7 faces coloriées de l'une des deux couleurs, on obtient 7 groupes de 3 objets parmi 7 tels que toute paire d'objets appartient exactement un des 7 groupes.
Concrètement, 7 personnes peuvent sortir par trinômes chaque jour de la semaine, de sorte que chacun des 21 binômes possibles sort exactement une fois (chaque personne sortira donc exactement 3 fois et sera sortie avec chacune des 6 autres personnes).
 

Si F, S, A sont les nombres de faces, de sommets, et d'arêtes d'un polyèdre à faces triangulaires de genre n dont tous les couples de sommets sont reliés par une arête, on a les relations , dont on tire  ; n = 0 donne S = 4 et la seule solution est le tétraèdre, n =1 donne S = 7 ce qui explique pourquoi le polyèdre de Csazar possède 7 sommets. La valeur suivante de n qui fournit un S entier est n = 6 qui donne S = 12, mais il n'a pas encore été trouvé de polyèdre à 12 sommets et 6 trous dont chaque sommet est relié aux 11 autres.

Construction :
4 faces associées aux 6 premiers sommets. 4 autres faces associées à ces sommets (124,245,253,356) 8 faces de base. Il reste 6 arêtes libres qui seront reliées au septième sommet. Les 14 faces.

 
Coordonnées des sommets proposées par Jean Lefort :
S1:=[6,6,0]: S2:=[6,-6,2]: S3:=[2,-3,6]: S4:=[-2,3,6]: S5:=[-6,6,2]: S6:=[-6,-6,0]:S7:=[0,0,15]:
2 faces du bas :  F1:=[S1,S2,S6]:F2:=[S1,S5,S6]: 6 faces intermédiaires :F3:=[S1,S2,S4]: F4:=[S3,S4,S6]: F5:=[S3,S5,S6]: F6:=[S1,S3,S4]: F7:=[S2,S3,S5]: F8:=[S2,S4,S5]:
6 faces sommitales  : F9:=[S2,S3,S7]: F10:=[S4,S5,S7]: F11:=[S4,S6,S7]:F12:=[S2,S6,S7]:F13:=[S1,S5,S7]:F14:=[S1,S3,S7]:

Le polyèdre de Szilassi est un dual (combinatoire) du polyèdre de Csaszar.

Anaglyphe du polyèdre de Csaszar réalisé par Alain Esculier (à regarder avec des lunettes rouge à gauche et cyan à droite)


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© Robert FERRÉOL 2015