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POLYTOPE DE DIMENSION 4 ou POLYCHORE
Polychoron, Polychor

 Polychore : du grec poly  "plusieurs" et choros  "chambre" ou "espace".

Un polytope de dimension 4 (ou 4-polytope, ou polychore) est un ensemble fini non vide de polyèdres situés dans l' espace euclidien de dimension 4 E4 appelés les cellules ou cases du polychore, les faces, arêtes, et sommets des cellules étant les faces, arêtes, et sommets du polychore, tel que :
    1) chaque face de chaque cellule coïncide avec une face d'une seule autre cellule, non située dans le même hyperplan que la première.
    2) condition de connexité :  deux cellules sont toujours reliés par une suite de cellules ayant chacune une face en commun avec la suivante.
    3) condition de non croisement : deux cellules n'ont aucun point intérieur en commun.

Un polychore possède au moins 5 sommets, 10 arêtes, 10 faces et 5 cellules.

On classe les polychores suivant leur nombre de cellules, appelé l'ordre du polychore, en utilisant les suffixes grecs suivants :
 
      4 5 6 7 8 9 10
      tétra penta hexa hepta octa ennéa déca

 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
hendéca ou
undéca
dodéca triadéca tétradéca  le suffixe ...
...ci-dessus..
... plus déca   ...  ... icosa

 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
icosiéna icosidi icositri icositétra icosi plus le...  ...suffixe.... ...ci-dessus  ...  ... triaconta

 
31 33   40 50 60 70 80 90 100 1000 10000
triacontaéna triacontadi etc. tétraconta pentaconta hexaconta heptaconta octaconta ennéaconta hecta kilia myria

 

La frontière du polychore est la réunion des cellules pleines. C'est une variété tridimensionnelle connexe compacte plongée dans R4 ; lorsque sa frontière est homéomorphe à S3, le polytope est dit simple. Les nombres C, F, A, S de cellules, faces, arêtes et sommets d'un polychore sont alors reliés par la relation d'Euler-Poincaré : C + A = F + S.

Le squelette du polychore est la réunion de ses arêtes pleines.

Le polychore plein est la réunion de la frontière et des points "intérieurs" au polychore, c'est-à-dire ceux qui sont tels que toute courbe continue partant d'un tel point et allant à l'infini rencontre la frontière.

Un patron d'un polychore est une réunion dans E3 de polyèdres pleins isométriques aux cellules du polychore, chaque polyèdre étant attaché à exactement un autre par une face et permettant par pliage en dimension 4 de reconstituer la frontière du polychore.

Deux polychore sont dits (combinatoirement) équivalents s'il existe une bijection ente les sommets, conservant les arêtes, les faces et les cellules. Une classe d'équivalence est un type de polychore.

Un polychore est dit convexe si le polychore plein est convexe ; toutes les faces et cellules sont alors convexes.

Un polychore convexe est simple et le polychore plein est alors l'enveloppe convexe des sommets. Une partie bornée de E4  est un polychore plein convexe sssi c'est une intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés.

Tout polychore simple est équivalent à un polychore convexe.


Un polychore convexe est dit inscriptible, si ses sommets sont situés sur une (hyper)sphère de dimension 3.
Un polychore convexe est dit circonscriptible, si ses cellules prolongées sont tangentes à une même (hyper)sphère de dimension 3.
 

Voir les polychores réguliers.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2009