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COURBE DE HILBERT 3D

Voir ici une vue stéréoscopique de cette courbe (lunettes rouge à gauche, cyan à droite), et plusieurs autres sur cette page d'Alain Esculier.

La courbe de Hilbert 3D, généralisation de la courbe de Hilbert 2D, est une courbe de type Peano remplissant le cube [0, 1]3, définie par l'algorithme :

1) Partager [0, 1]3 en 8 "petits" cubes "égaux" ; numéroter chacun de ces cubes de 1 à 8 de sorte que deux cubes successifs se touchent par une face.

2) Partager chacun de ces carrés en 8 "micro" cubes "égaux" ; numéroter chacun de ces cubes de sorte que deux micro cubes successifs se touchent par une face, le premier micro-cube d'un petit cube devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-cube du petit cube précédent et le dernier micro-cube devant toucher par une face le petit cube suivant.

3) Recommencer ce processus à l'infini.
 

A l'étape n, on obtient donc une suite de 8n  cubes  de côté , deux cubes successifs se touchant par une face, recouvrant successivement les cubes .

La courbe de Hilbert 3D approchée d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces cubes (en rouge ci-dessus).
Si t appartient à [0,1[ , posons  (où [ t] désigne la partie entière de t). Les , pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts) emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point , point courant de la courbe de Hilbert 3D.

On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le cube, donc égale à ce cube.

Définition par AFC :

Étant donné un cube  (dont les sommets sont ici les points de coordonnées ), la courbe de Hilbert est la courbe limite associée à la famille des 8 similitudes de rapport absolu 1/2 :
 
 
similitude n° 3 6 1 2 7 8  4 5
centre (-1,-1,1) (-1,1,1) (1,-1,-1) (1,-1,1) (1,1,1) (1,1,-1) (-3/7,-5/7,-1/7) (-3/7,5/7,-1/7)
axe dirigé par     (0,1,-1) (1,1,0) (1,-1,0) (0,1,1) (-1,-1,1) (1,-1,-1)
angle 0 0 p p p p  2p/3  2p/3 
rapport 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2

formée de 2 homothéties, 4 homothéties-réflexions et deux similitudes directes d'angle 2p/3 dont le cube plein est l'attracteur.

En prenant comme courbe de départ :, les courbes itérées sont les courbes de Hilbert 3D approchées ci-dessus :

Nota : il existe 3 autres motifs continus similaires à . Il existe donc 48 facons différentes de remplir les 8 cubes de l'étape 2. On verra sur cette page, superbement représentés, divers exemples de ces variantes.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2014