Le tore de Willmore est le tore (géométrique) dont le rapport du rayon majeur au rayon mineur vaut .
L'énergie de courbure d'une surface S, où courbure moyenne totale, étant définie par l'intégrale  où  est la courbure moyenne, le tore de Willmore est le tore dont l'énergie de courbure est la plus faible. En effet, pour un tore de rayon majeur a et de rayon mineur b l'énergie de courbure E vaut , qui est minimale quand , la valeur étant alors .

Willmore a conjecturé en 1965 que  est la valeur minimale de l'énergie de courbure de toute surface orientable de genre 1 (conjecture démontrée en 2014).
Les surface de genre 1 atteignant cette valeur minimale sont le tore de Willmore et ses inverses (donc des cyclides de Dupin particulières).

Ceci a été vérifié expérimentalement dans les formes prises par les liposomes.

Notons que la courbure de Gauss absolue totale, définie par  où  vaut, elle,  pour tous les tores. Voir aussi à surface tendue.
 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2019