Puntiforme

PUNTIFORME
Bullet nose curve, Kohlenspitzenkurve

Courbe étudiée par Pieter Schoute en 1883.
Du latin punctum "point", mais puntiforme signifie : en forme de pointe.
En anglais, bullet nose signifie "extrémité de balle" et en allemand, kohlenspitzenkurve "pointe de crayon" (nom donné par Schoute).

Équation cartésienne :

(cas particulier de courbe de Lamé), ou

, ou encore

.
Paramétrisation cartésienne :

.
Quartique rationnelle.
Aire entre la courbe et les asymptotes : 4ab.

La puntiforme est l'image de l'hyperbole ( ici ) par une inversion biaxiale (d'axes ceux de l'hyperbole), définie ici par : ; géométriquement, c'est le lieu des points d'intersection des parallèles à l'autre axe menées des deux points d'intersection d'une tangente à l'hyperbole avec les axes.

La puntiforme est donc à l’hyperbole ce que la cruciforme est à l’ellipse.

Ne pas confondre avec le kappa.

Ci-contre, famille des quartiques d'équation , qui ne sont plus rationnelles (en vert pour k < 0, en rouge pour et en bleu pour k > 1).
La puntiforme est obtenue pour k = 1 (limite entre les courbes bleues et rouges).

La rotation d'une demi puntiforme autour d'un de ses axes (équation ) justifie bien l'appellation "bullet nose".

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Ci-contre, famille des quartiques d'équation , qui ne sont plus rationnelles (en vert pour k < 0, en rouge pour et en bleu pour k > 1). La puntiforme est obtenue pour k = 1 (limite entre les courbes bleues et rouges).
La rotation d'une demi puntiforme autour d'un de ses axes (équation ) justifie bien l'appellation "bullet nose".