Courbe de Hilbert

COURBE DE HILBERT

Courbe étudiée par Peano en 1890 et Hilbert en 1891.
David Hilbert, 1862-1943 : mathématicien allemand.
Voir aussi cet article.

Paramétrisation cartésienne définie par récurrence par :
M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0)

(pour caculer M(t), décomposer t en base 4)
En posant ,
ces formules se traduisent par :

Définition n°1 :

La courbe de Hilbert est l'unique courbe de Peano binaire remplissant le carré [0, 1]² et telle que M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0).
Elle est donc définie par l'algorithme :

1) Partager [0, 1]² en 4 "petits" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le carré en bas à gauche, et terminant par le carré en bas à droite.

2) Partager chacun de ces carrés en 4 "micro" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux micro carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le micro-carré en bas à gauche, et terminant par le micro-carré en bas à droite, le premier micro-carré d'un petit carré devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-carré du petit carré précédent et le dernier micro-carré devant toucher par un coté le petit carré suivant.

3) Recommencer ce processus à l'infini.

A l'étape n, on obtient donc une suite de 4ⁿ carrés

de côté

, deux carrés successifs se touchant par un côté, recouvrant successivement les carrés

La courbe de Hilbert approchée du premier type d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces carrés.

les courbes de Hilbert d'ordres 1 à 4

Le labyrinthe de Hilbert d'ordre n est la réunion des côtés des carrés excepté les côtés joignant deux carrés consécutifs (et les deux entrées) :

Si t appartient à [0,1[ , posons

(où [ t] désigne la partie entière de t).

Les , pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts) emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point , point courant de la courbe de Hilbert.

On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le carré de départ, donc égale à ce carré.

La courbe de Hilbert possède cependant des points multiples ; le point central par exemple est un point triple.

Voici quelques points remarquables avec leurs paramètres.

Définition n° 2 :

Etant donné un carré ABCD (ici A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)), la courbe de Hilbert est la courbe limite associée à la famille des 4 contractions suivantes (avec pour segment de départ [AB]) :
    - f_A : similitude indirecte de centre A, d'axe [AC] et de rapport 1/2 ()
    - f_B: similitude indirecte de centre B, d'axe [BD] et de rapport 1/2 ()
    - f_C: homothétie de centre C de rapport 1/2 ()
    - f_D: homothétie de centre D de rapport 1/2 ()
Dont le carré plein ABCD est l'attracteur.