L-système à trois-barres

L-SYSTÈME À TROIS BARRES
Three bars L-sytem

Nom maison.

Code maple donnant l'image ci-dessus.

troisbarres:=proc(A,B,n,t,v,u,w)
if n=0 or abs(B-A)<0.01 then A else P,Q:=(1-t)*A+t*B+I*(B-A)*v,(1-u)*B+u*A+I*(B-A)*w:
troisbarres(A,P,n-1,t,v,u,w),
troisbarres(P,Q,n-1,t,v,u,w),
troisbarres(Q,B,n-1,t,v,u,w)
fi end:
dess:=troisbarres(0,1,30,0.1,0.2,0.1,-0.2):
complexplot([dess,1],scaling=constrained,axes=none);

Un L-système à trois-barres est un L-système dont la fonction de base transforme un segment [AB] en une ligne brisée continue [APQB].

Prenant A(0,0), B(0,1), P(t,v), Q(1- u, -w), le système est déterminé par les 4 réels t, u, v, w, . Pour qu'il y ait un attracteur, les trois segments doivent être de longueur < 1, soit , , .

Cas t = u et v = w :

Alors et la condition d'existence de l'attracteur se résume à .
L'image en en-tête est obtenue pour t = u = 0,1 et v = w = 0,2.

Cas où de plus les barres ont même longueur :

On a et ; le système est toujours attractif car .

Les barres ont alors des angles successifs égaux de mesure q avec (il faut donc t > 2/5 = 0,4) , soit , ce qui donne des barres de longueur .

On a alors , et .
L'attracteur est de dimension fractale .

En prenant on obtient l'un des n côtés du contour de l'île de Gosper d'ordre n ; le cas ci-dessous.

Le cas où la barre centrale est verticale est obtenu pour , d'où , ; barres de longueur ; dimension fractale égale à 2 : courbe remplissante.
Il s'agit du terdragon :

Cas t = 0,45 :