surface suivante | surface précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
SURFACE TENDUE
Tight
surface, straffe Fläche
Surfaces étudiées par T. Banchoff en 1965, avec W. Kühnel en 1997. |
Une surface close
orientable est dite tendue si sa courbure de Gauss absolue totale
est minimale parmi les surfaces de même genre
(cette courbure totale étant définie par
où
est la courbure de Gauss, produit
des courbures principales).
Cette valeur minimale est donnée par la formule
où g est le genre de la
surface et
sa caractéristique
d'Euler Poincaré.
L'inégalité
avec égalité ssi la surface est tendue, est à comparer
avec l'égalité
de
Gauss-Bonnet :
.
Le beau théorème suivant caractérise concrètement les surfaces tendues [Kühnel, p. 186] :
Pour une surface close S plongée dans ,
notant
la partie de S ayant une courbure de Gauss positive, les conditions
suivantes sont équivalentes :
a) S est tendue.
b)
c)
d) Tout plan sépare S en deux composantes
connexes au plus.
En particulier les surfaces tendues de genre 0 sont les
surfaces frontières des parties convexes de.
Les tores géométriques sont des surfaces
tendues, car tout plan les sépare en deux parties au plus, ou car |
Cette surface de genre 2 n'est pas tendue. | Cette surface de genre 2 proposée par Banchoff
et Kuiper en 1981 est tendue (voir [Kühnel,
p. 186]).
Elle est une composante de la surface d'équation |
![]() |
![]() |
![]() |
surface suivante | surface précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
© Robert FERRÉOL 2019