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COURBE DE GIRATION CONSTANTE

Courbe étudiée par moi-même suite à une question de Franck Rolland.
Animation ci-dessus réalisée par Alain Esculier.

 
1) Courbe des roues avant :
Paramétrisation cartésienne : t est l'angle de braquage des roues avant, k est égal à  ( a est la distance entre les roues avant et arrière),  est la vitesse angulaire de braquage des roues avant, et v la vitesse du véhicule.
Abscisse curviligne : , angle tangentiel cartésien : , rayon de courbure : .
Équation intrinsèque 1, équation intrinsèque 2 : .

2) Courbe des roues arrière : t est toujours l'angle de braquage des roues avant.
Abscisse curviligne :  ; rayon de courbure : , équation intrinsèque 1 : .
Courbes transcendantes.

La courbe de giration constante est la courbe décrite par les roues avant d'une voiture (mieux, d'un vélo) roulant à vitesse constante dont le conducteur tourne le volant à vitesse constante.

Plus précisément, c'est la courbe telle qu'une droite (D) passant par un point M de la courbe et faisant un angle avec la tangente proportionnel à l'abscisse curviligne ( (D) est l'axe de la voiture et le point M, les roues avant) reste tangente à une courbe en un point N (les roues arrières) situé à une distance constante de M.

C'est donc aussi la courbe dont la tractoire est telle que la laisse fait un angle avec la tangente qui est proportionnel à l'abscisse curviligne.

Voici quelques animations du mouvement pour une rotation complète du volant, avec une vitesse de rotation croissante.

k = 0,1


 
 

k = 0,2


k = 0,3

k = 0,4

k = 1


 


 

k = 5

On peut remarquer que si la courbe des roues avant se reproduit à l'identique après que le volant ait fait un tour complet, celle des roues arrière se reproduit seulement après un demi-tour.
 
Evolution de la courbe sur deux périodes pour k croisant de 0,1 à 1 puis  ci-desous de 1 à 5 (vitesse de rotation du volant croissante).

On remarquera un sorte de déroulement de la clothoïde jusqu'à devenir une sorte de cycloïde allongée.


 
 
Pour k tendant vers 0, la courbe de giration constante s'identifie à la clothoïde :


La courbe est fermée pour les valeurs de k telles que  (et alors ), comme par exemple k = 0,261  ci-dessous :

 

Démonstration de l'obtention de l'équation intrinsèque ci-dessus :
Roues avant :   abscisse curviligne s ; angle tangentiel cartésien : 
Roues arrières :  (angle de braquage =   ,  a = distance entre les roues avant et les roues arrière)
Rappels : Rc est le rayon de courbure, et .
La colinéarité de la vitesse des roues arrière avec  s’exprime alors par 
Soit  qui se simplifie bien en .

On peut généraliser le problème au cas d'une loi de variation de l'angle de braquage quelconque ; voici par exemple une animation du cas d'une loi sinusoïdale :

Comparer avec la courbe à rayon sinusoïdal, pour laquelle le rayon de courbure varie sinusoïdalement en fonction de l'abscisse curviligne (alors qu'ici, c'est la courbure qui varie sinusoïdalement).
 
 
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© Robert FERRÉOL 2008