Équation bifocale :  (avec deux foyers F et F' distants de 2a). Équation cartésienne : . Paramétrisation cartésienne : . Biquartique quadricirculaire.

Les ovales de Cayley sont les lieux des points du plan dont la moyenne harmonique des distances à 2 points, les foyers, est constante (= b).

Ce sont donc les lignes équipotentielles du potentiel électrostatique créé par deux charges égales placées aux foyers (ou du potentiel gravitationnel créé par deux masses identiques).

Cas b <  a : l'"ovale" est formé de 2 courbes en forme d'oeuf symétriques par rapport à O.
Cas e = 1 (b =  a) la courbe a une forme de 8.
Cas :  l’ovale a alors la forme d’une "ellipse" déprimée aux deux sommets du petit axe.
Cas  : l’ovale a enfin la forme ovale, tendant vers une forme circulaire quand e augmente.

Tout ceci rappelle fortement les ovales de Cassini (qui sont, eux, des quartiques) ; on peut en effet placer ces deux familles dans le cas plus général des lieux des points du plan dont la moyenne d'ordre p des distances à 2 points est constante, d'équation bifocale   ; on voit ci-dessous que les ovales de Cassini et de Cayley sont assez proches ; on peut les différencier par les tangentes en O.
 

p = –	–   < p  <  –1	p = –1	–1 < p < 0
min ( r , r' ) = b
b = 0 : foyers, b = a : deux cercles tangents	b = 0 : 2 points, b = a : huit	b = 0 : 2 points, b = a : huit	b = 0 : 2 points, b = a : huit
Arcs de cercles centrés aux foyers		Ovales de Cayley

 

p = 0	0 < p < 1	p = 1
		r + r' = 2b
b = 0 : 2 points, b = a : huit	b = 0 : 2 points, b = a : huit	b = a : segment
Ovales de Cassini		Ellipses

 

1 < p < 2	p = 2	2 < p < ¥	p = + ¥
	r2 + r'2 = 4b2		max ( r , r' ) = b
b = a : point O.	b = a : point O.	b = a : point O.	b = a : point O
	Cercles		Arcs de cercles centrés aux foyers

Une autre généralisation consiste à placer des charges quelconques en des points quelconques ; les lignes équipotentielles, d'équation multifocale  s'appellent les équipotentielles de Cayley : elles sont aux ovales de Cayley ce que sont les cassiniennes aux ovales de Cassini.

Voici par exemple les équipotentielles (en rouge), d'équation  et les lignes de champ correspondantes (en bleu) dans le cas de deux charges opposées.

Pour le cas limite de ces dernières courbes quand les pôles se rapprochent, voir à courbe du dipôle.

On peut bien sur généraliser ceci aux courbes d'équation multifocale  qui redonnent les équipotentielles de Cayley pour p = – 1. Pour p = – 2, on obtient les courbes dites "isophoniques". Ce sont les courbes joignant les points où l'intensité sonore (ou lumineuse) dues à des souces sonores (ou lumineuses) placées aux foyers est identiques ; voici par exemple des courbes isophoniques pour des sources identiques placées aux sommets d'un triangle :

Pour d'autres courbes définie par des phénomènes sonores, voir les courbes de Loriga.
 

Pour d'autres équipotentielles et lignes de champ, voir cette page.

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

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