Courbe à fleches

COURBE À FLÈCHES
Sagittal curve, Pfeilkurve

Courbe définie par Aubry en 1893 (Journal de mathématiques spéciales p. 187 et 203).
Travail de Florence Bornet sur le sujet.

La courbe à flèches de base [AB] est construite de la façon suivante : on construit sur [AB] un triangle isocèle de sommet S₁, sa hauteur S₁I₁ (ici nommée plutôt "flèche") étant dans un certain rapport r₁ à sa demi-base AI₁.
On effectue la même opération sur les deux côtés, les flèches ayant le même rapport r₂ à la demi-base.
Puis on effectue cette opération à l'infini avec une suite des rapports flèche/demi-base égale à (r_n).
La courbe à flèches est la courbe limite, si elle existe.

Par exemple, si les r_n sont tous égaux à 1, la courbe obtenue n'est autre que le fractal de Lévy.

Si les r_n sont tous égaux à r <1, on obtient toujours une courbe fractale, attracteur de deux contractions affines, dont la forme rappelle la courbe du blanc-manger, de construction similaire.

Mais cette méthode a été au départ utilisée pour tracer, à l'aide de cordes, des raccordements circulaires entre deux alignements.
Une fois le sommet S₁ choisi, un calcul montre que pour que les sommets S_n se trouvent sur l'arc de cercle passant par A, S₁, B, il suffit de prendre .
La courbe limite est alors cet arc de cercle.

Comme, dans la suite précédente, on a , si l'on prend , on obtient une courbe très proche de l'arc de cercle.

Si, dans le cas de l'arc de cercle, on note et la flèche et la demi-base à l'étape n, on a donc . Si l'on construit donc une courbe à flèches où chaque flèche est simplement le quart de la précédente (ce qui donne ), on obtient de nouveau une approximation de l'arc de cercle. C'est cette courbe, de construction pratique simple, qui était désignée par "courbe à flèches proportionnelles" dans les manuels de construction de chemins de fer au 19ème siècle.
On constate ci-contre que l'approximation est moins bonne que dans le cas précédent, mais le défaut s'atténue avec un angle de départ plus petit.

Voici ce qu'Aubry pensait de cette dernière courbe en 1893 :
"Ce polygone limite est-il une courbe continue ? C'est peu probable, mais pour l'assurer il faudrait pouvoir en donner une définition conduisant à une équation, ce qui ne parait pas possible.
Cette courbe est certainement continue au sens géométrique — ou physique si l'on veut — du mot ; mais au sens analytique, il nous parait hors de doute qu'elle est infiniment discontinue ou pointillée.
Peut-on lui mener une tangente ? La réponse dépend de celle qu'on fera aux difficultés qu'on vient de signaler.
(NDLR : la courbe de Koch date de 1904).
Il est remarquable que cette pseudo-courbe (elle n'est, en effet, peut-être pas une courbe, mais l'ensemble d'une infinité de points qui ne sont liés par aucune loi fixe) est employée journellement pour de simples tracés de routes, aux raccordements des alignements droits."

Et, en 2015, peut-on trouver une équation à cette courbe ?

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

La courbe à flèches de base [AB] est construite de la façon suivante : on construit sur [AB] un triangle isocèle de sommet S₁, sa hauteur S₁I₁ (ici nommée plutôt "flèche") étant dans un certain rapport r₁ à sa demi-base AI₁. On effectue la même opération sur les deux côtés, les flèches ayant le même rapport r₂ à la demi-base. Puis on effectue cette opération à l'infini avec une suite des rapports flèche/demi-base égale à (r_n). La courbe à flèches est la courbe limite, si elle existe.
Par exemple, si les r_n sont tous égaux à 1, la courbe obtenue n'est autre que le fractal de Lévy.
Si les r_n sont tous égaux à r <1, on obtient toujours une courbe fractale, attracteur de deux contractions affines, dont la forme rappelle la courbe du blanc-manger, de construction similaire.
Mais cette méthode a été au départ utilisée pour tracer, à l'aide de cordes, des raccordements circulaires entre deux alignements. Une fois le sommet S₁ choisi, un calcul montre que pour que les sommets S_n se trouvent sur l'arc de cercle passant par A, S₁, B, il suffit de prendre . La courbe limite est alors cet arc de cercle.
Comme, dans la suite précédente, on a , si l'on prend , on obtient une courbe très proche de l'arc de cercle.
Si, dans le cas de l'arc de cercle, on note et la flèche et la demi-base à l'étape n, on a donc . Si l'on construit donc une courbe à flèches où chaque flèche est simplement le quart de la précédente (ce qui donne ), on obtient de nouveau une approximation de l'arc de cercle. C'est cette courbe, de construction pratique simple, qui était désignée par "courbe à flèches proportionnelles" dans les manuels de construction de chemins de fer au 19ème siècle. On constate ci-contre que l'approximation est moins bonne que dans le cas précédent, mais le défaut s'atténue avec un angle de départ plus petit.