Courbe de Capareda

COURBE DE CAPAREDA
Capareda curve, Caparedasche Kurve

Courbes étudiées par Levi Capareda en 2010.

Les courbes de Capareda sont les courbes tracées sur une sphère qui se projettent sur un plan équatorial de la sphère en une hypo- ou épi-trochoïde inscrite dans l'équateur. Ce sont en fait, sous une autre présentation, exactement les mêmes courbes que les courbes des satellites.

Paramétrisation cartésienne dans le cas de l'hypotrochoïde :
avec (q > 1 ; rayon de la sphère = (q – 1 + k).a ).
Dans le cas de l'épitrochoïde :
avec (q > 0 ; rayon de la sphère = (q +1+ k).a ).
Plafonnier

Cas de l'hypotrochoïde :
Pour k = 0, on obtient le cercle équatorial (ou une couronne sinusoïdale si l'on choisit b quelconque).
Pour k = q – 1, on obtient les clélies d'indice > 1 (cas où les pôles sont des points multiples ; la projection équatoriale est une rosace).

q = 6 k = 4
q = 6, k = 1
q = 4, k = 3
(clélie)
q = 4 , k = 1
(courbe de la balle de tennis)
q = 3, k = 2
(clélie)
q = 3, k = 1

Cas q = 8, k = 4,3 modélisé par Lévi Capareda avec une courroie d'engrenage pendant un cours de sciences industrielles...

Cas de l'épitrochoïde :
Pour k = 0, on obtient le cercle équatorial (ou une couronne sinusoïdale si l'on choisit b quelconque).
Pour k = 1, on obtient les hélices sphériques.
Pour k = q + 1, on obtient les clélies d'indice < 1 (cas où les pôles sont des points multiples ; la projection équatoriale est une rosace).

q = 4, k = 1
(hélice sphérique)
q = 4, k = 2
q = 4, k = 5
(clélie)
q = 6, k = 7

Quelques exemples avec les projections équatoriales, par Alain Esculier

Sculpture de Roger Berry, près du lac Tahoo, Californie (photo T. Ferréol)

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres