surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

PSEUDO-SPHÈRE
Pseudosphere, Pseudokugel

Surface étudiée par Ferdinand Minding (1806-1885) et Eugène Beltrami en 1868, ce dernier lui ayant donné le nom de pseudo-sphère.
Autres noms : surface de Beltrami, tractroïde, tractricoïde.
Site : abracadabri.

 
Équation cylindrique : .
Paramétrisation cartésienne :  (,) ; a est le pseudo-rayon de la pseudo-sphère.
ou 
où  (Gd-1 est la fonction de Gudermann inverse).
Paramétrisation où les lignes de coordonnées sont les lignes asymptotiques.
Avec la première paramétrisation :
Première forme quadratique fondamentale : .
Courbure méridienne :  , courbure parallèle : .
Courbure de Gauss constante : .
Volume :  ; aire : 4pa2.

Détermination des géodésiques (Gomes Teixeira tome III p. 271) : l'équation  donne , soit .
Équation cylindrique des géodésiques : .
Distance sur la géodésique précédente entre les points de rayons  et .

La pseudo-sphère est la surface de révolution engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote.
Elle s'appelle ainsi car sa courbure de Gauss est constante, comme pour la sphère, mais négative (elle n'est pas la seule surface de révolution de courbure de Gauss constante négative, voir les autres ici).

Beltrami a considéré cette surface car elle constitue un modèle du plan hyperbolique.
En effet par un point donné, il passe une infinité de géodésiques "parallèles", c'est-à-dire, ne rencontrant pas, une géodésique donnée.
 
Pseudosphère avec ses lignes asymptotiques.

Modèle original de la pseudo-sphère construit par Beltrami.

Voir aussi l'hélicoïde pseudosphérique, qui en est une généralisation.
 
surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL  2019