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PSEUDO-SPHÈRE
Pseudosphere, Pseudokugel

Surface étudiée par Ferdinand Minding (1806-1885) et Eugène Beltrami en 1868, ce dernier lui ayant donné le nom de pseudo-sphère.
Autres noms : surface de Beltrami, tractroïde, tractricoïde.

 
Paramétrisation cartésienne :  () ; a est le pseudo-rayon de la pseudo-sphère.
ou 
où  (Gd-1 est la fonction de Gudermann inverse).
Paramétrisation où les lignes de coordonnées sont les lignes asymptotiques.
Avec la première paramétrisation :
Première forme quadratique fondamentale : .
Courbure totale constante : .
Équation des géodésiques
Volume :  ; aire : 4pa2.

La pseudo-sphère est la surface de révolution engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote.
Elle s'appelle ainsi car sa courbure totale est constante, comme pour la sphère, mais négative (elle n'est pas la seule surface de révolution de courbure totale constante négative, voir les autres ici).

Beltrami a considéré cette surface car elle constitue un modèle du plan hyperbolique.
En effet par un point donné, il passe une infinité de géodésiques "parallèles", c'est-à-dire, ne rencontrant pas, une géodésique donnée ; Pour plus de détails sur ce sujet voir ce diaporama de géométrie dynamique sur la pseudosphère (utiliser un autre navigateur que chrome).
 
Pseudosphère avec ses lignes asymptotiques.

Modèle original de la pseudo-sphère construit par Beltrami.

Voir aussi l'hélicoïde pseudosphérique, qui en est une généralisation.
 
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© Robert FERRÉOL  2013