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LINTÉAIRE DROITE
Right lintearia, gerade Lintearia


Courbe étudiée par Euler en 1744Sturm en 1840
Autres noms : roulette de Sturm équilatère, élastique harmonique.

La  lintéaire droite est la lintéaire (ou courbe élastique) dont les points d'inflexion sont orthogonaux à l'axe de la translation laissant la courbe invariante.
 
Équation différentielle :  soit .

Paramétrisation cartésienne : 

Posant , on obtient la courbe complète par , avec q entier.

Abscisse curviligne :  ; rayon de courbure : .

Elle est solution de nombreux problèmes géométriques ou physiques, dont voici deux exemples :
 
La lintéaire droite est le lieu du centre d'une hyperbole équilatère roulant sans glisser sur une droite, d'où le nom de roulette de Sturm équilatère.
Elle est aussi solution du problème de calcul des variations suivant : trouver une courbe de longueur L donnée joignant deux points A et B (variables) d'une droite (D) (fixe), dont la rotation autour de la droite (D) engendre un solide de volume maximal.
Notons que la courbe de longueur L donnée joignant deux points A et B (variables) d'une droite (D) (fixe), englobant une aire maximale est, elle, un demi-cercle.
Cette propriété expliquerait la forme de la cornée ( voir cet article), et celui d'un ballon gonflable en Mylar (voir cet article).
Ballon composé de deux disques de Mylar qui sont cousus ensemble le long des bords et ensuite gonflé. Le ballon se gonfle, mais puisque la matière n'est pas extensible, le rayon initial du disque devient la longueur de la courbe de profil.

Ci-dessous, comparaison de la lintéaire droite, du demi-cercle, d'un carré, et d'un rectangle, joignant A à B.
On pose b = AB/2 et a la distance à (AB) du point le plus éloigné de la courbe joignant A à B.
L'aire englobée par la courbe est notée S, et le volume du solide de révolution V.
On remarquera que :
    - le record de volume est obtenu avec la lintéaire, mais parmi les rectangles, le record est obtenu avec le carré.
    - le record d'aire est obtenu avec le demi-cercle, mais parmi les rectangles, le record est obtenu avec le double carré.
 
Lintéaire droite Demi-cercle Rectangle double carré Carré
b = a I avec 
L = a J avec 

 b = a



b = a

L = 4 a

b = a/2

L = 3 a

La lintéaire droite est obtenue pour k = 1/2 dans la famille des courbes  qui sont les profils des courbes de révolution aux courbures proportionnelles.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2019