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COURBE ÉLASTIQUE
Elastic
curve (or elastica, elastic rod), elastische Kurve
![]() |
![]() lintéaire droite |
![]() ![]() ![]() ![]() . 0< k < k1 = 0.65222.... |
![]() k = k1 = 0.65222.... : pseudo-lemniscate |
![]() ![]() k1< k < -1 |
![]() k = 1 : courbe des forçats |
![]() ![]() k > 1 : pseudo-trochoïde |
Courbe étudiée par Jacques Bernoulli en
1691 qui lui a donné le nom d'elastica, par Euler
en 1744, et Poisson en 1833.
Autres nom : lintéaire, radioïde aux abscisses. Voir sur cette page d'Alain Esculier un programme de tracé de cette courbe. |
Les courbes élastiques sont les courbes
planes dont la courbure en tout point est proportionnelle à la distance
à une droite fixe, appelée la directrice.
Prenant comme directrice l'axe des y, la condition
s'écrit Équation différentielle : (1) s'intègre en Posant Abscisse curviligne : |
Pour –1 < k < 1 (figure avec k = 1/ 2 : angle tangentiel à l'origine de - 30 °)
Si on utilise la paramétrisation :
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Si on utilise l'expression explicite :
|
Paramétrisation cartésienne : Posant |
Ici, Équation cartésienne : posant |
Pour k = 1 :
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L'intégrale n'est plus elliptique et on
a la paramétrisation :
|
Pour k > 1 :
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Équation cartésienne : avec posant |
D'après la loi
de Laplace le profil d'une bâche rectangulaire remplie d'eau
est une courbe élastique (la courbure de cette bâche devant
être proportionnelle à la distance à la surface du
liquide), d'où le nom de lintéaire.
On retrouve la courbe élastique comme trajectoire
d'une torpille dont le gouvernail tourne d'un angle proportionnel à
la profondeur.
Mais la courbe élastique est aussi la solution
du problème de calcul des variations suivant : trouver parmi toutes
les courbes de longueur donnée celle qui minimise l'intégrale
du carré de la courbure
; autrement dit, c'est la courbe minimisant la variance des oscillations
de la tangente par rapport à une direction fixe. C'est la raison
pour laquelle on la retrouve dans de nombreux phénomènes
naturels.
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Une lame élastique contrainte prend une forme de courbe élastique (d'où le nom) | Lors de cet accident ferroviaire, les rails transportés ont pris une forme de courbe élastique, appelée par les physiciens "serpentin de flambage" | Les ondulations du serpent, minimisant la courbure, ont des formes de courbe élastique. |
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Les méandres des rivières prennent des
formes de courbe élastique (voir aussi la courbe
des méandres)
Ici, les méandres de la Somme. |
Sa propriété caractéristique de minimisation de la courbure fait que la courbe élastique est parfois utilisée dans les tracés de routes entre deux portions rectilignes, d'où son nom de radioïde aux abscisses.
Elle est aussi solution de cet autre problème de
calcul des variations : trouver une courbe de longueur donnée joignant
deux points donnés A et B, dont la rotation autour
d'une droite (D) coplanaire avec la droite (AB) engendre
un solide de volume maximal (autrement dit,
maximal, à
constant).
Et elle est aussi caractérisée par le fait
que lorsqu'un point M la décrit à vitesse constante,
la tangente oscille autour de M comme un pendule simple oscillerait
autour de la parallèle à la directrice passant par M.
(cf. la formule ).
C'est la raison pour laquelle la courbe élastique est très similaire, pour les valeurs de k comprises entre –1 et 1 à la courbe des méandres (dont la tangente oscille, elle, de manière sinusoïdale), et qu'elle est souvent confondue avec cette dernière.
Voir sur ce site allemand une très belle animation d'une généralisation de cette courbe.
Voir aussi la goutte d'eau pendante, généralisation à l'espace de la courbe élastique.
Les courbes telle que la courbure est proportionnelle
à la distance à un point fixe (au lieu d'une droite)
sont étudiées sur la page des spirales
de Norwich ; on trouve en particulier la lemniscate
de Bernoulli.
Les courbes telles que la courbure est proportionnelle
à l'abscisse curviligne sont les clothoïdes.
Les courbes telles que la courbure est proportionnelle
à la distance au point d'intersection de la normale avec une
droite fixe sont étudiées ici.
REM : si dans l'équation différentielle
on remplace l'exposant 3/2 par 1/2, on obtient la courbe
de la corde à sauter.
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© Robert FERRÉOL 2010