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COURBE DES MÉANDRES
Meander
curve, Mäanderkurve
Courbe étudiée par A.A. Savelov en 1960
(voir [Savelov]
p. 264,265, lire en ligne],
Luna Léopold et Walter Langbein en 1966 (cf.
cet
article), à laquelle ils ont donné le nom de sine-generated
curve.
On retrouve cette courbe sous le nom de patterned curve, dans cette étude de Rovenski. |
Équation
intrinsèque 2 :.
Équation intrinsèque 1 : . Paramétrisation cartésienne : () ; en complexes : . Courbe transcendante. Remarque : la courbe de paramétrisation est semblable à la précédente. |
La courbe des méandres est la courbe telle
que l'angle de la tangente avec une direction fixe varie sinusoïdalement
avec l'abscisse curviligne. Une telle courbe a été envisagée
par Luna Léopold car il avait constaté expérimentalement
que l'aiguille d'une boussole dans un bateau descendant à vitesse
constante une rivière à méandres oscillait de façon
sinusoïdale au cours du temps.
Vu l'équation intrinsèque 1 ci-dessus,
la courbe des méandres est aussi la courbes dont la courbure varie
sinusoïdalement avec l'abscisse curviligne.
La courbe des méandres est aussi la courbe décrite par un point M tel que si une droite (D) fait un angle avec la tangente en M proportionnel à l'abscisse curviligne, le projeté H du centre de courbure I sur (D) est à distance constante non nulle de M. |
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Voici l'évolution de la courbe suivant les valeurs de l'angle tangentiel maximal :
Pour inférieur à la courbe a une allure de sinusoïde ; ci-dessus, . |
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C'est pour que la courbe a le plus une allure de méandres. |
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Allure pour ,
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Pour , la courbe a une forme de lemniscate |
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REM : les valeurs de
donnnant une courbe bornées sont définies par
(qui implique ).
Lorsque tend vers l'infini, la courbe des méandres : (en rouge) "tend" vers la clothoïde : (en bleu), ici pour = 10 : |
Inversement, pour des petites valeurs de la courbe des méandres est très proche de la courbe élastique (et l'explication en est donnée sur la page correspondante) ; en fait, l'interprétation des méandres comme courbe minimisant la courbure conduit à modéliser les méandres plutôt par la courbe élastique, mais l'assimilation entre les deux courbes montre que Luna Léopold avait fait une bonne observation expérimentale.
Comparer aussi avec la courbe
de giration constante et les courbes
à rayon sinusoïdal.
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Les méandres de la Seine. |
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© Robert FERRÉOL 2011