Syntractrice, courbe des forçats

SYNTRACTRICE, COURBE DES FORCATS
Syntratrix, Syntraktrix

Courbe considérée par Giovanni Poleni en 1729 lors de la réalisation d'un appareil tractionnel pour construire les logarithmes. Nom donné par Ricatti en 1755. Courbe étudiée ensuite par Sylvester.
Autre nom : courbe de Poleni.
Syn est un préfixe grec signifiant "avec".
Voir Brocard part. comp. page 173.
Voir http://www.spm.uem.br/bspm/pdf/vol21/parte-5-earp_BSPM.pdf page 12.

Paramétrisation cartésienne :

, les cas k = 0 , k = 1 et k = 2 correspondant respectivement à la droite, à la tractrice, et à la courbe des forçats.
Abscisse curviligne :

(donc s = at dans le cas de la courbe des forçats).
Rayon de courbure :

.
D'où l'équation intrinsèque 1 dans le cas de la courbe des forçats :

Les syntractrices sont les courbes équitangentielles de la tractrice, décrites par les points d'une tangente à cette courbe.

Si le point N décrit la tractrice, et P est le point de la tangente en N situé sur l'asymptote à la tractrice (on sait que NP = a = cte), la paramétrisation ci-dessus est celle du point M tel que .

Lorsque N est le milieu de [PM] (soit k = 2), la courbe prend le nom de courbe des forçats, laquelle est aussi un cas particulier de courbe élastique.
Voici une explication possible pour cette appellation :
un chariot très lourd est en N, milieu d'une barre fixe MP ; un premier forçat est en P et tire le chariot N en direction rectiligne, le chariot décrit donc une tractrice ; un deuxième forçat pousse en M et décrit la courbe des forçats.
Plus généralement, lorsque les roues avant d'un véhicule décrivent une droite, les divers points de son axe de symétrie décrivent des syntractrices.

Le calcul de l'abscisse curviligne ci-dessus montre que la courbe des forçats
est la courbe qu'on doit faire décrire à l'extrémité d'une tige glissant sur un plan, l'autre
extrémité ayant un mouvement rectiligne, de sorte que les deux extrémités
(P et M) se meuvent à la même vitesse absolue.

La courbe des forçats est la médiane parallèlement à Ox du demi-cercle et de la tractrice .

La courbe des forçats est aussi le cas particulier k = 2 de la famille des courbes d'équation intrinsèque 1 : , courbes n'ayant pas de nom connu, mais ayant pour paramétrisation :
Ci-contre une animation pour k allant de 0 à 6, avec arrêts à k =1 (chaînette d'égale résistance), k = 2 (courbe des forçats), et k = 4.

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