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CHAÎNETTE D’ÉGALE RÉSISTANCE
Catenary
of equal strength, Kettenlinie gleichen Widerstandes
Courbe étudiée par Finck
et Bobillier en 1826 et Coriolis
en 1836.
Autres noms : chaînette de Coriolis, longitudinale, courbe du log cosinus. |
![]() La chaînette d'égale résistance se
différencie
|
Equation diférentielle : Équation cartésienne : Courbe transcendante. Abscisse curviligne : Angle tangentiel cartésien : Rayon de courbure : Équation intrinsèque 1 : Équation intrinsèque 2 : Aire entre limité par Ox et les asymptotes : Courbe transcendante. |
La chaînette d'égale résistance est
la forme prise par un fil pesant flexible inextensible suspendu entre 2
points, quand la masse linéique (c'est-à-dire, en pratique,
l'épaisseur du fil) est proportionnelle à la tension.
Un tel fil n'offre donc pas plus de chance de rupture
en un point qu'en un autre.
Cette courbe, renversée, représente le profil d'une voûte
sans surcharge (Brocard) ??
Avec les notations de la figure ci-dessus ( Ceci se simplifie en |
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La masse linéique est alors égale à ,
ce qui détermine l'épaisseur d'un tel fil.
La formule
montre que la projection du segment rayon de courbure sur l'axe des x
a une longueur constante ; cette propriété est caractéristique
de la chaînette d'égale résistance.
La chaînette d'égale résistance est
aussi le cas particulier
k = 1 de la famille des courbes d'équation
intrinsèque 1 : Ci-contre une animation pour k allant de 0 à 6, avec arrêts à k =1 (chaînette d'égale résistance), k = 2 (courbe des forçats), et k = 4. |
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Voir aussi à courbe de Ribaucour, dont la chaînette d'égale résistance peut être considérée comme un cas particulier.
La radiale de cette
courbe est la droite x = a et sa courbe
de Mannheim une chaînette.
La développée
de la chaînette d'égale résistance est la courbe de
paramétrisation : |
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010