Courbe de Ribaucour

COURBE DE RIBAUCOUR
Ribaucour curve, ribaucoursche Kurve

Problème posé par Jean Bernoulli en 1716, résolu par Taylor en 1717 ; courbe étudiée ensuite par Ossian Bonnet en 1844 et Ribaucour en 1880.
Albert Ribaucour (1845-1893) : ingénieur et mathématicien français.
Voir aussi ce lien.

Equation différentielle du second ordre : .
Equation du premier ordre : .
Equation cartésienne : .
Paramétrisation cartésienne : , avec .
Courbe algébrique pour k entier impair.
Abscisse curviligne donnée par : .
Rayon de courbure : .

reconnaître le cercle et la cycloïde Pour k entier >0, on peut prendre t quelconque ; la courbe est fermée pour k impair, périodique pour k pair.

Pour k >0 et non entier, prendre .

Cas k = -1/4, -1/2, -1 (chaînette), -2 (parabole). Pour k < 0 prendre ; la courbe est à asymptote verticale pour k > –1, à branche parabolique sinon.

Une courbe de Ribaucour est une courbe dont tout point M vérifie où I est le centre de courbure en M, N le point d'intersection de (MI) avec une droite (D) donnée (ici : Ox) et k une constante fixée.

Autrement dit, en prenant Ox comme droite (D), ce sont les courbes telles que le rayon de courbure est proportionnel à la normale : R_c = – k N.

La courbe de Ribaucour d'indice k est aussi le lieu du pôle de la spirale sinusoïdale : roulant sans glisser sur (D), avec .

Elle est enfin la solution du problème de calcul des variations consistant à déterminer les courbes rendant extrémale l'intégrale ; c'est pourquoi on la retrouve aussi comme trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu inhomogène : voir cette page consacrée au principe de Fermat.

Cas particuliers :

Indice de la courbe de Ribaucour Nature de cette courbe Indice
de la spirale sinusoïdale roulante Nature de cette spirale figure Intégrale dont la courbe de Ribaucour est l'extrémale Interprétation

k = –2 parabole de directrice (D) n = –1/3 cubique de Tschirnhausen, avec point traceur au foyer

k = –1 chaînette de base (D) n = –1/2 parabole, avec point traceur au foyer courbe joignant A à B rendant minimale l'aire de la surface engendrée par sa rotation autour de (D), surface qui est un caténoïde.

k = –1/2 voir dernière colonne n = –2/3 antipodaire centrale de l'hyperbole équilatère fil pesant homogène joignant A à B de moment d'inertie minimal

k = 0 point n = –1 droite .... ....

k = 1/2 Roulette de Sturm équilatère
ou lintéaire droite n = –2 hyperbole équilatère ?

k = 1 cercle centré sur (D) n infini .... géodésique dans le demi-plan de Poincaré

k = 3/2 n = 2 lemniscate de Bernoulli voir l'animation ci-dessus ?

k = 2 cycloïde à points de rebroussement sur (D) n = 1 cercle, avec point traceur sur le cercle courbe brachistochrone

k = 3 sextique
n = 1/2 cardioïde, avec point traceur à la pointe ?

k infini droite n = 0 point la droite est le plus court chemin d'un point à un autre...

Nota : l'équation montre que les courbes de Ribaucour pour k différent de 0, peuvent être définies par ; on peut alors considérer que la courbe d'ordre 0 est la courbe définie par qui n'est autre que la chaînette d'égale résistance.

Obtention des équations à partir des 3 définitions ci-dessus :

Démonstration à partir de la définition par la propriété des normales. Démonstration à partir du roulement de la spirale sinusoïdale Démonstration à partir du problème de calcul des variations

L' équation R_c = – k N s'écrit , d'où et donnant l'équation à variables séparables conduisant à la solution de l'encadré ci-dessus. L'équation de la roulette du pôle de la courbe d'équation polaire est (1) ; or pour la spirale sinusoïdale : , et donc (1) devient , CQFD. L'équation d'Euler-Lagrange appliquée à l'intégrale conduit à l'équation différentielle , ce qui donne, avec , l'équation différentielle . En posant , on obtient bien la paramétrisation ci-dessus.

La courbe de Mannheim d'une courbe de Ribaucour est une courbe de Ribaucour de paramètre k – 1.

La rotation d'une courbe de Ribaucour autour de l'axe Ox donne une surface de révolution dont les courbures principales sont proportionnelles en tous points.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

reconnaître le cercle et la cycloïde	Pour k entier >0, on peut prendre t quelconque ; la courbe est fermée pour k impair, périodique pour k pair.
	Pour k >0 et non entier, prendre .
Cas k = -1/4, -1/2, -1 (chaînette), -2 (parabole).	Pour k < 0 prendre ; la courbe est à asymptote verticale pour k > –1, à branche parabolique sinon.

Indice de la courbe de Ribaucour	Nature de cette courbe	Indice de la spirale sinusoïdale roulante	Nature de cette spirale	figure	Intégrale dont la courbe de Ribaucour est l'extrémale	Interprétation
k = –2	parabole de directrice (D)	n = –1/3	cubique de Tschirnhausen, avec point traceur au foyer
k = –1	chaînette de base (D)	n = –1/2	parabole, avec point traceur au foyer			courbe joignant A à B rendant minimale l'aire de la surface engendrée par sa rotation autour de (D), surface qui est un caténoïde.
k = –1/2	voir dernière colonne	n = –2/3	antipodaire centrale de l'hyperbole équilatère			fil pesant homogène joignant A à B de moment d'inertie minimal
k = 0	point	n = –1	droite		....	....
k = 1/2	Roulette de Sturm équilatère ou lintéaire droite	n = –2	hyperbole équilatère			?
k = 1	cercle centré sur (D)	n infini	....			géodésique dans le demi-plan de Poincaré
k = 3/2		n = 2	lemniscate de Bernoulli	voir l'animation ci-dessus		?
k = 2	cycloïde à points de rebroussement sur (D)	n = 1	cercle, avec point traceur sur le cercle			courbe brachistochrone
k = 3	sextique	n = 1/2	cardioïde, avec point traceur à la pointe			?
k infini	droite	n = 0	point			la droite est le plus court chemin d'un point à un autre...

Démonstration à partir de la définition par la propriété des normales.	Démonstration à partir du roulement de la spirale sinusoïdale	Démonstration à partir du problème de calcul des variations
L' équation R_c = – k N s'écrit , d'où et donnant l'équation à variables séparables conduisant à la solution de l'encadré ci-dessus.	L'équation de la roulette du pôle de la courbe d'équation polaire est (1) ; or pour la spirale sinusoïdale : , et donc (1) devient , CQFD.	L'équation d'Euler-Lagrange appliquée à l'intégrale conduit à l'équation différentielle , ce qui donne, avec , l'équation différentielle . En posant , on obtient bien la paramétrisation ci-dessus.