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SURFACE DE RÉVOLUTION AUX COURBURES PROPORTIONNELLES
Rotation
surface with proportional curvatures, Drehfläche mit proportionalen
Krümmungen
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Surface étudiée par Hopf en 1951, et Wolfgang Kühnel en 1999 (Differential Geometry, p. 95) |
Paramétrisation cylindrique : ,
paramétrisation cartésienne : .
Équation différentielle : ou où . Rayons de courbure parallèle et méridien : . |
Il s'agit de la surface de révolution dont les deux rayons de courbure principaux (ou bien les deux courbures principales, ou encore la courbure moyenne et la courbure totale) sont proportionnel(le)s en tous points - voir les notations. Il s'agit donc d'une surface de Weingarten.
Le rayon de courbure méridien d'une surface de
révolution étant celui du profil de cette surface, et le
rayon de courbure parallèle étant la longueur du segment
MN
joignant le point M de la surface au point
N d'intersection
de la normale avec l'axe, les profils des surfaces étudiés
ici ne sont autres que les courbes dont le rayon de courbure
est proportionnel à la normale (ou ce qui est équivalent
telles que le quotient MI / MN est constant - égal
ici à k -, I étant le centre de courbure),
autrement dit, les courbes
de Ribaucour.
Diverses coupes par un plan passant par l'axe ;
pour k = 1 on obtient le cercle, pour k = 2 la cycloïde, pour k = 1/2 la lintéaire droite, pour k = –1 la chaînette, et pour k = – 2 la parabole (de directrice Oz). |
Vue des demi-surfaces pour k = 2, k = 1
(sphère), k = 1/2, et k = 1/5.
Notons que la relation ne vaut pas pour le point d'intersection avec l'axe, qui est singulier pour k > 1/2 et un ombilic pour . |
Vue des demi-surfaces pour k = – 2 (paraboloïde de Flamm) et k = –1 (caténoïde). |
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Comparer avec les surfaces
de révolution à courbure de Gauss constante (autrement
dit, dont les deux courbures sont inversement proportionnelles).
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© Robert FERRÉOL 2019