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COURBE BRACHISTOCHRONE
Brachistochrone
(or brachistochronous) curve, brachistochrone Kurve
Courbe étudiée et ainsi dénommée
par Jean Bernoulli en 1718 et Euler en 1736.
Du grec brakhisto "le plus court" (s'écrit donc avec un i et non un y) et chronos "temps". Voir aussi mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone/ |
Équation fonctionnelle : Équation différentielle (obtenue
par application de l'équation
d'Euler-Lagrange) : |
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La (courbe) brachistochrone est la courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points O et A fixés (ici A(a, –b)).
Réponse pour a > 0 (résultat trouvé en même temps par Leibniz, Newton, L'Hospital, Jean et Jacques Bernoulli) : un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale.
Il est remarquable que si la pente b/a entre O et A est inférieure à 2/p » 63%, correspondant à un angle de »32 ° avec l'horizontale, la courbe la plus rapide possède, comme dans la figure ci-dessus, une portion qui remonte !
Ceci vaut à la limite si les points O et A sont à la même altitude, auquel cas la ligne droite donnerait un temps de parcours infini.
Pour - de - de - de - de |
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Ici les deux boules sont côte à côte
un moment, puis la bleue suit une ligne droite horizontale ; la cycloïde
est toujours la plus rapide !
Animation dédiée à la rédaction des "incroyables expériences" de France 2 qui a du mal à accepter le phénomène... |
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Jean Bernoulli avait posé le problème sous
une forme légèrement différente : trouver la courbe
minimisant le temps de parcours en partant d'un point O à
vitesse nulle et en arrivant à un plan vertical (en un point indéfini)
: la réponse est une demi-arche de cycloïde à départ
vertical et à arrivée horizontale et perpendiculaire au plan
;
à l'arrivée, le mobile sera donc descendu d'une hauteur égale à |
![]() la cycloïde rouge bat les deux autres |
On peut aussi se demander quelle sera la courbe brachistochrone
parmi les courbes reliant deux points donnés, et ayant une forme
donnée.
Par exemple pour deux points à même altitude et des courbes en V, la brachistochrone est celle dont l'angle du V est droit, comme le montre l'animation ci-contre. Cet exemple montre aussi que parmi tous les chemins rectilignes partant d'un point A donné et arrivant à un plan vertical P donné, le chemin brachistochrone est celui faisant un angle de 45° avec l'horizontale contenu dans le plan vertical passant par A et perpendiculaire à P (résultat obtenu par Galilée en 1638). Le problème de la brachistochrone de longueur donnée est traité sur cette page. |
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On peut chercher aussi la brachistochrone "avec frottement"
; on obtient la paramétrisation Voir cet article. |
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Les concepteurs de rampes de skate savent-ils que la rampe la plus rapide a une forme de cycloïde ? La réponse est oui d'après l'article d'où sont tirés les graphiques ci-contre, mais apparemment, il n'y a pas eu de réalisation de rampe cycloïdale. |
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On peut aussi chercher les courbes brachistochrones obtenues
pour diverses
lois de vitesse.
Ici ,
mais pour le cas plus général
,
la brachistochrone a pour équation différentielle
.
Si ,
la brachistochrone obtenue est cette fois un arc de cercle.
Si maintenant la vitesse ne dépend que de la distance
à O (),
la brachistochrone a pour équation différentielle
.
Pour ,
la brachistochrone est la spirale
logarithmique ; ce cas correspond à un mobile situé dans
un référentiel en rotation uniforme autour d'un point O
(donc
soumis à la force centrifuge), dans le cas où la vitesse
est nulle en O.
Si la vitesse nulle est prise à une distance
a
de O , alors Le cas Voir par exemple mathworld et ce texte. |
![]() En rouge, le tunnel brachistochrone. |
Pour d'autres courbes de mouvement d'un point matériel
dans un champ de pesanteur soumises à certaines conditions, voir
à isochrone, tautochrone,
synchrone,
synodale,
et courbe
à réaction constante.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2014