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COURBE D'ARCHYTAS
Archytas curve, Kurve des Archytas

Lien vers une figure manipulable à la souris


Archytas de Tarente (430-350 avant J.C.) : général, savant et homme d'état grec.
Cette courbe serait la première courbe non plane historiquement considérée.
Page internet : www.mathouriste.eu/Delos/Delos_pb3.html

 
Système díéquations cartésiennes : a est le diamètre du cylindre et du tore.
Système d'équations cylindriques : .
Système d'équations sphériques : , où  est la latitude.
Courbe algébrique de degré 8 (biquartique 3D).
Paramétrisation cartésienne :  ().

 
 
 
La courbe d'Archytas est la courbe intersection d'un tore à trou nul avec un cylindre de révolution d'axe perpendiculaire au cercle central du tore, et de même rayon que lui.
Construction de la courbe :
Le tore est engendré par un cercle (CQ) de diamètre horizontal [OQ], le point Q ayant un mouvement circulaire autour de O, et le cylindre, par une droite (D) verticale passant par P, le point P décrivant un cercle fixe de diamètre [OA] (OQ = OA).
Prenant P sur (OQ), le point M d'intersection de (D) avec (CQ)  décrit la courbe d'Archytas.
Analytiquement : .
La latitude  et la longitude  sont reliés par .

Elle a été considérée par Archytas car c'est une duplicatrice :
en effet, donc si  ; dans cette configuration, les deux nombres  et  apparaissent simultanément comme des rapports de longueurs, mais pour obtenir cette configuration, il faut connaitre  qui n'est pas constructible.
 
 
On peut généraliser au cas du tore à trou non nul : intersection du tore  de rayon majeur a et de rayon mineur b, avec le cylindre de rayon b.
Lorsque a augmente, la courbe tend vers une bicylindrique (cas de la double ellipse).

Comparer avec les bitoriques.
 
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© Robert FERRÉOL  2023