Courbes étudiées par C. Piquet en 2002.

 

Équation différentielle (issue de la relation fondamentale de la dynamique) :  où  est le vecteur normal à la surface en M et , soit pour une surface paramétrée en (u, v) : . Ce système différentiel s'écrit, pour une surface d'équation z = f(x, y) :  (voir les notations ).

Les lignes d'écoulement d'une surface sont les trajectoires de points matériels liés à la surface soumis à un champ de pesanteur vertical (on les réalise physiquement en faisant rouler une bille polie sur la surface).

Lorsque la vitesse est nulle la ligne d'écoulement est tangente à la ligne de pente passant par le point, mais ce n'est en général plus le cas sinon.

On remarque que l'intensité de la pesanteur g > 0, n'influe pas sur la forme des courbes (même si elle influe sur la vitesse à laquelle elles sont parcourues). Si, par contre, on fait g = 0 dans les équations ci-dessus, on trouve d'autres courbes, qui ne sont autres que les géodésiques de la surface.

Sans pesanteur, la ligne d'écoulement devient une géodésique

les lignes d'écoulement d'un plan incliné sont des paraboles ou des droites :
les lignes d'écoulement d'un cylindre circulaire vertical sont des courbes se développant en des paraboles ou des droites
Les lignes d'écoulement d'une sphère ne sont autres que les courbes du pendule sphérique.

Une goutte de pluie tombe dans la gouttière....

Plus la pente est faible, plus il y a de méandres !

© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2002