LIGNE DE DÉCLIVITÉ EXTRÉMALE
Line
of extreme slant, Linie extremer Steilheit
| Notion étudiée par Barré de Saint
Venant en 1852 et Boussinesq en 1871. |
Une direction verticale étant choisie, les lignes
de déclivité extrémales d'une surface sont les
lignes topographiques tracées sur
la surface formées des points où la pente (de la section
de la surface par un plan vertical tangent à la ligne
de pente) présente un extrémum le long de la
ligne
de niveau correspondante.
On montre que ce sont aussi les lignes formées
des points des lignes de pente où le plan
osculateur est vertical, ou, ce qui est équivalent, des points correspondant
aux points de courbure nulle des projections horizontales des lignes
de pente ; en particulier, les lignes de pente ayant une projection horizontale
rectiligne
sont des lignes de déclivité extrémale
et ce sont les seules parmi les lignes de pente ; ce sont alors des lignes
de
talweg ou de crête et on démontre
que ce sont aussi exactement les lignes de pente qui sont aussi lignes
de courbure.
Pour la surface  ,
avec les notations de Monge : 
(pour une surface paramétrée  ,
utiliser  ),
la pente valant ,
ses extremums sur une ligne de niveau sont obtenus par
l'équation implicite :
 ,
soit 
(relation de de Saint Venant).
La courbure des projections horizontales de lignes de
pente est égale à  ,
dont la nullité donne bien la même relation.
La condition supplémentaire pour que ce soit un
minimum (resp un maximum) s'écrit p²(2s²+t²-tr)-2pqs(r+t)+q²(2s²+r²-tr)+p^3c+p²q(d-2b)+pq²(a-2c)+q^3b>=0
(resp <= 0) où a,b,c,d sont les dérivées troisièmes
de f. |
Exemple 1 : la surface z = y exp(-x²) :
les lignes de niveaux (en noir) sont données par
y = k exp(x²),
les lignes de pente (en bleu) par x = k exp(-y²),
et les lignes de déclivité extrémale
(en rouge) par x = 0 et y = +-1/Ö2.
La ligne de déclivité x= 0 est rectiligne
: c'est une ligne de pente, et aussi une crête
pour y > 0, un talweg pour y < 0.
On remarque que les lignes de déclivité
y = +-1/Ö2 passent bien, en projection
horizontale, par les points d'inflexion des lignes de pente. |
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Exemple 2 : la surface z = y sin x :
les lignes de niveaux (en noir) sont données par
y sinx = k ,
les lignes de pente (en bleu) par exp(y²) cos²
x = k,
et les lignes de déclivité extrémale
(en rouge) par x = pi/2 + k pi et y = +-sin x.
Les lignes de déclivités x = pi/2 + k pi
sont rectilignes : ce sont des lignes de pente, et aussi des crêtes
ou talwegs.
On remarque que les lignes de déclivité
y = +-sin x passent bien, en projection horizontale, par les points d'inflexion
des lignes de pente |
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Exemples généraux :
- les lignes de déclivité extrémale
d'un cône sont les directrices
coupant orthogonalement les lignes de niveau (pour un cône 
,
cela correspond aux extrémums de f).
- les lignes de déclivité extrémale
d'une surface de révolution
d'axe vertical sont les méridiennes.
- les lignes de déclivité extrémale
d'une surface d'égale
pente de plan de référence horizontal sont les lignes
de pente.
© Robert FERRÉOL
2007