La surface d'équation cartésienne  est lisse dans le plan affine réel (resp. complexe) si le système  est sans solution réelle (resp. complexe). Pour une surface algébrique de degré n, posant , la surface est lisse dans le plan projectif réel (resp. complexe) si le système  ne possède pas d'autre solution réelle (resp. complexe) que (0, 0, 0).

Une surface est dite lisse si elle ne possède pas de point singulier, autrement dit si elle possède un plan tangent (unique) en tout point.

Il faut pour cela préciser si on considère la surface d'un point de vue affine réel,  projectif réel ou projectif complexe, les conditions devenant de plus en plus fortes.

Exemples
   - surface lisse de degré n (pour la dernière acception) : la surface de Lamé d’équation cartésienne  .
   - surface lisse d'un point de vue affine, mais pas projectif : un cylindre construit sur une courbe ayant la même propriété.
    - une surface d'équation z = f(x, y) (avec f de classe C¹) est toujours lisse d'un point de vue affine.
    - un cône (non plan), ou le parapluie de Withney ne sont pas lisses.
    - une quadrique est lisse dans l'espace projectif complexe si et seulement si elle est propre (ssi elle est projectivement équivalente à la surface ).
     - une surface cubique est lisse ssi ????
 
 

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© Robert FERRÉOL  2003